【BZOJ2876】【NOI2012】骑行川藏（数学，二分答案）

【BZOJ2876】【NOI2012】骑行川藏（数学，二分答案）

题面

BZOJ

题解

我们有一个很有趣的思路。
首先我们给每条边随意的赋一个初值。
当然了，这个初值不会比这条边的风速小。
那么，我们可以先计算一下当前所需要的总能量。
剩下的能量我们分成若干等份。
每次从所有的边中，选择一个加了这一份能量后，时间减少最多的那条边，让他提速。
直到我们所有的能量都分配完，此时答案一定最优。
所以，可以简化一下题意。
在\(\sum ks(v'-v)^2=E_U\)的情况下，最小化\(\sum \frac{s}{v}\)
然后剩下的部分我就去看看学长写的吧（因为我也不懂）
MashiroSky's Blog
主要是不知道为什么梯度向量就平行了
补充一下自己的几点理解：
首先能量和等于\(E_U\)是一个函数，我们可以把它先在空间中表示出来。
然后最小化的值我们也可以看成一个函数，那么我们类似于地理中的等高线，
把所有等值的点的位置一圈一圈的全部向外拓展，当它第一次与能量构成的函数相交时，
并且这个交点一定是切点，此时取到的就是最小值了。
梯度向量由偏向量构成，其中偏向量的每一维分别对应这这个函数在每一维上的导数。
也就是把每一维分别看做主元，其他的都看作常量后求导。
也许梯度向量相等可以看做为在切点处，任何一维的增长量都相等？
假设我们默认梯度向量平行
那么，就有\((v_1,v_2,v_3....,v_n)=\lambda (v'_1,v'_2,...,v'_n)\)
我们可以二分这个\(\lambda\)，然后求解出所有的速度。
求解速度的时候等价于解方程\(2\lambda Kv^2(v-v')=-1\)
所有已知量都挪到右边，假设算完后的结果是\(c\)
那么就是\(v^3-v'v^2=c\)
我们找左边的零点，发现显然只有两个零点\(v'\)和\(0\)
并且我们最终的速度一定不会小于\(v'\)，解方程的时候我们可以二分，
解的下界是\(max(0,v')\)
差不多就这些了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAX 11111
#define eps 1e-13
int n;
double Eu,S[MAX],K[MAX],V[MAX],v[MAX],ans;
bool check(double lam)
{
	double ret=0;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		double l=max(0.0,V[i]),r=1e9,c=-1/(2*lam*K[i]);v[i]=l;
		while(l+eps<=r)
		{
			double mid=(l+r)/2;
			if(mid*mid*(mid-V[i])<c)l=mid;
			else r=mid;
		}
		v[i]=l;ret+=K[i]*S[i]*(V[i]-v[i])*(V[i]-v[i]);
	}
	return ret<=Eu;
}
int main()
{
	scanf("%d%lf",&n,&Eu);
	for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%lf%lf%lf",&S[i],&K[i],&V[i]);
	double l=-1e9,r=0,ret;
	while(l+eps<=r)
	{
		double mid=(l+r)/2;
		if(check(mid))l=mid,ret=mid;
		else r=mid;
	}
	check(ret);
	for(int i=1;i<=n;++i)ans+=S[i]/v[i];
	printf("%.10lf\n",ans);
	return 0;
}