仙人掌&圆方树学习笔记

仙人掌&圆方树学习笔记

1、仙人掌

圆方树用来干啥？

——处理仙人掌的问题。

仙人掌是啥？

(图片来自于$BZOJ1023$)

——也就是任意一条边只会出现在一个环里面。

当然，如果你的图片想看起来舒服一点，也可以把图片变成这样子

(图片来源于网络)

2、DFS树

为啥要写这个？--因为这个看起来也可以解决一些仙人掌的问题。

对于一个仙人掌，我们随便构建出一棵生成树。

然后我们就多了一些边——可以叫返祖边，非树边……你想叫啥就叫啥。

因为每条边只会出现在一个环中，

所以每一条返祖边覆盖了树中的一条链，这条链+这条边构成了环。

所以我们可以确定每条边都出现在了哪个环中。

这样子可以解决一点点仙人掌的问题。

比如仙人掌的最大独立集，$dp$的时候额外记录一下所在环的返祖边的端点的状态就好了。

3、圆方树是啥

看WC2017的营员交流的课件真的看得想死

先来定义一下什么是圆方树。

以下内容来自于课件：

仙人掌 $G = (V, E)$ 的圆方树 $T = (V_T , E_T )$ 为满足以下条件的无向图:
$V_ T = R_ T ∪ S_ T , R_ T = V, R_ T ∩ S_ T = ∅$,我们称$R_ T$ 集合为圆点、$S_ T$
集合为方点
$∀e ∈ E$,若 $e$ 不在任何简单环中,则 $e ∈ E_T$
对于每个仙人掌中的简单环 $R$,存在方点 $p_ R ∈ S_ T$ ,并且 $∀p ∈ R$ 满
足 $(p _R , p) ∈ E_ T$ ,即对每个环建方点连所有点

听说你看完挺混乱？

我来翻译一下：

对于一个仙人掌，它的圆方树如下定义：

首先分为了两类点，一类是圆点，一类是方点。

圆点就是原仙人掌中所有的点，方点是我们新添加进去的点。

而圆方树的连边规则是这样的：

如果一条边在仙人掌中不属于任何一个环中，那么它直接圆方树中的两个圆点。

对于仙人掌中的任意一个环，则每个环上的点在圆方树上对应的圆点向这个环对应的方点连边。

如何证明圆方树是一棵树？

（以下内容来自于课件）

不在环上的边在圆方树中依然存在,

因此这些边连通性不变;

每个环通过新建方点的方式连成一朵菊花,连通性不变。

因此圆方树是无向连通图。

原图中环的个数为 $|E| − |V| + 1$,则
$|V _T | = |S _T | + |R_ T | = |V| + |E| − |V| + 1 = |E| + 1,|E _T | = |E|$

(大小为$r$ 的环在仙人掌和圆方树中都是 $r$ 条边),因此满足 $|V_ T | = |E_ T | + 1$

证明分为了两步：

首先证明它是联通的。

然后就证明了点数=边数+1

这样就是一棵树了。

然后让我把课件上的一张图片给蒯过来

好的，圆方树就长成这个样子啦。

4、如何构建圆方树

我想，看了上面的东西，知道了圆方树是啥，我们很容易就知道怎么构建圆方树了吧。

首先$Tarjan$缩点，把每个大小超过$1$的环里面的所有点都向一个新点（方点）连边。

然后把多出来的链接两个圆点的边直接给连上就好了。

似乎真的很简单？

5、圆方树的性质

1.方点不会直接和方点相连

证明：

方点只会和属于一个强连通分量的点相连，显然不会和方点相连。

2.无论取哪个点为根，圆方树的形态是一样的

证明：

这不还是废话吗？

对于一个环，我们显然对应的是一个方点，无论以哪个点为根，

这个环是不会变的，除了方点的编号不一样之外就没有任何不同了。

所以圆方树是无根树。

定义：子仙人掌

以$r$为根的仙人掌上的点$p$的子仙人掌是去除掉$p$到$r$的所有简单路径后，$p$所在的联通块

3.以$r$为根的仙人掌上$p$的子仙人掌就是圆方树中以$r$为根时，$p$子树中的所有圆点

证明：

如果$p$不在环上，显然成立。

否则，此时去除所有到达根节点的所有简单路径后，

剩下的只有和$p$相连的，并且不和$p$在一个环内的点

显然是圆方树上$p$子树中的圆点（和它在一个环内的圆点都不和它直接相连了）

6、如何解决仙人掌上的一些简单的问题

a.求仙人掌的最大独立集(BZOJ4316)

这道题目显然有直接用$dfs$树的$dp$求法，见这里。

但是我们是在学习仙人掌，所以当然要用仙人掌的方法来求解啊。

其实这里圆方树没有必要出来，没有必要区分圆点和方点。

我们也是直接做$dp$，但是与$dfs$树不同的是，

我们直接在$Tarjan$过程中做$dp$(似乎本质也是$dfs$树？)

碰到圆圆边(圆点和圆点直接的边)就是普通的树型$dp$进行转移

如果是一个环上的边的话，那么我们先暂时不进行操作。

当回到这个环的最上方的时候，对于这个环就行一次单独的$dp$

将答案累加给环的顶端，这样向上转移又和树一样了

具体的题解戳这里

b.求仙人掌直径(BZOJ1023)

和普通的树求直径用一样的$dp$就可以了。

对于一个环，拉出来特殊考虑，用一个单调队列维护一下。

具体的实现方法戳这里

c.仙人掌两点间的最短路(BZOJ2125)

构建出圆方树(圆方树：终于需要用到我了)，直接把圆方树树链剖分(主要是用来求$LCA$)

圆圆边和原仙人掌是同构的，圆方边的权值定义如下：

我们知道方点的父亲一定是圆点(转换为有根树之后)，

这样子把每条圆方边的权值赋为到达方点父亲的最短路径就好啦。

更加详细的题解和代码戳这里。

这一部分的小节

前两个问题似乎用不到圆方树，只需要普通的$dp$即可解决。实现的方法和普通的树型$dp$是类似的，但是也有几点区别：首先不是普通的$dfs$，而是$Tarjan$算法的实现过程中，顺带解决$dp$问题。另外一个是仙人掌上的问题需要额外处理环的问题，每次找到环之后需要特殊处理。所以，解决这类问题也就是两步：首先想好怎么在树上解决（圆圆边如何解决），然后想好怎么处理环的答案。

第三个问题就需要用到圆方树啦，然而本质仍然是处理环和普通的树边之间的关系，只需要把这层关系想清楚，这一类问题应该还是比较好解决的。

7、广义圆方树

前面的圆方树只能解决仙人掌的问题。

那么，对于一个一般的无向图，我们显然也是可以利用圆方树来解决的(要不然我写什么广义圆方树啊?)

我们在仙人掌中是对于每个点双构建一个方点，在一般图中我们也这么做。

然后方点向所有点双中的点连边，差不多和仙人掌上的圆方树是一样的啦。

当然，和仙人掌上的圆方树是有区别的啦，仙人掌上的圆方树是圆圆点之间是可能有边的。

那么，广义圆方树呢？

先蒯张图过来(来自$ppl$的$blog$)

发现了啥？

圆点和方点是相间的，怎么搞？——强制把两个点也看成一个点双就好了

先找到题目来吧

带修改，求无向图中两点之间所有简单路径上的最小权值(CF487E)

当然了，这道题目有翻译好的版本UOJ#30,洛谷

首先我们不考虑修改，再来想想这道题目。

我们既然要求的是最小值，那么，在经过一个点双的时候，走的一定是具有较小权值的那一侧。

所以说，我们可以让所有的方点表示它所在的点双的最小权值，

这样子只需要对于圆方树树链剖分之后维护链的最小值就行了。

好的，回归带修改，无非是要动态的维护一下方点的最小权值了。

你问我怎么动态维护若干个值的最小值？搞个$multiset$不就好了吗？

但是，现在问题又来了，如果每次修改一个点的权值(这个点当然是圆点啦)，

那么，必定会修改所有和它相邻的方点，如果是一个菊花树，然后我们拼命修改根节点，这样子复杂度就起飞了。

现在让我们打开脑洞，大力思考一下怎么办？

我们强行让方点的权值不包括它的父亲(也就是只算它的儿子)

如果求解的时候$LCA$是方点，则额外计算一下方点父亲的权值

这样子每个圆点在修改的之后只需要向上修改给父亲方点啦！

于是，我们得到了$Tarjan$+圆方树+树链剖分+线段树+$multiset$的$O(nlog^2n)$的做法啦

(为什么要手写可删堆啊?$multiset$不好吗？)

代码和题解

8、完结撒花

呼，终于写完啦。

最后再来总的说一说仙人掌和圆方树。

对于仙人掌，我们对应的圆方树唯一。

无论是广义圆方树还是普通的圆方树，和普通的树相比，唯一的区别就是要额外考虑方点的贡献。

总的来说，就是码农+思维题啦，只要想清楚方点的处理，一切都很好办了。