BSGS算法

BSGS算法

我是看着\(ppl\)的博客学的，您可以先访问\(ppl\)的博客

Part1 BSGS算法

求解关于\(x\)的方程

\[y^x=z(mod\ p) \]

其中\((y,p)=1\)
做法并不难，我们把\(x\)写成一个\(am-b\)的形式
那么，原式变成了
\(y^{am}=zy^b(mod\ p)\)
我们求出所有\(b\)可能的取值(0~m-1)，并且计算右边的值
同时用哈希或者\(map\)之类的东西存起来，方便查询
对于左边，我们可以枚举所有可能的\(a\)，然后直接查右边的值有没有相等的即可
复杂度是\(O(max(m,p/m))\)
不难证明\(m=\sqrt(p)\)时复杂度最优

所以\(bsgs\)算法的复杂度是\(O(\sqrt(p))\)

模板题：\(SDOI2011\) 计算器

关键代码：

int m=sqrt(p)+1;Hash.Clear();
for(RG int i=0,t=z;i<m;++i,t=1ll*t*y%p)Hash.Insert(t,i);
for(RG int i=1,tt=fpow(y,m,p),t=tt;i<=m+1;++i,t=1ll*t*tt%p)
{
	int k=Hash.Query(t);if(k==-1)continue;
	printf("%d\n",i*m-k);return;
}

使用\(map\)会多个\(log\)，在洛谷上我写的\(Hash\)目前是跑得最快的。。。

Part2 拓展BSGS

假设\(gcd(y,p)\neq 1\)怎么办？
令\(d=gcd(y,p)\)
将方程改写成等式形式

\[y^x+kp=z \]

发现此时的\(z\)必须要是\(d\)的倍数，否则无解。
因此，除掉\(d\)

\[\frac{y}{d}y^{x-1}+k\frac{p}{d}=\frac{z}{d} \]

这样前面的\(y/d\)就是一个系数了，
不断检查\(gcd(\frac{z}{d},y)\)，一直除到互质为止
此时的形式就变成了

\[\frac{y^k}{d}y^{x-k}=\frac{z}{d}(mod\ \frac{p}{d}) \]

这样子\(bsgs\)求解之后在还原回去就行了。

模板:SPOJ Power Modulo Inverted
关键代码

void ex_BSGS(int y,int z,int p)
{
	if(z==1){puts("0");return;}
	int k=0,a=1;
	while(233)
	{
		int d=__gcd(y,p);if(d==1)break;
		if(z%d){NoAnswer();return;}
		z/=d;p/=d;++k;a=1ll*a*y/d%p;
		if(z==a){printf("%d\n",k);return;}
	}
	Hash.clear();
	int m=sqrt(p)+1;
	for(int i=0,t=z;i<m;++i,t=1ll*t*y%p)Hash.Insert(t,i);
	for(int i=1,tt=fpow(y,m,p),t=1ll*a*tt%p;i<=m;++i,t=1ll*t*tt%p)
	{
		int B=Hash.Query(t);if(B==-1)continue;
		printf("%d\n",i*m-B+k);return;
	}
	NoAnswer();
}