【洛谷4389】付公主的背包（生成函数，多项式运算）
【洛谷4389】付公主的背包（生成函数，多项式运算）
题面
有一个容量最多为\(10^5\)的背包
有\(n\)种物品，数量无限，题解是\(v_i\)
给定一个\(m\)，求所有\(s\in[1,m]\)，恰好装满容积为\(s\)的背包的方案数。
\(n,v_i,m<=10^5\)
题解
这题太神了，无限\(orz\)出题人
\(30\)分的部分分很显然就是一个背包。并没有什么好说的。
纯随机的数据并不知道怎么乱搞。
所以我直接写我的方法了。。。。
既然背包做不了，又是求一类计数问题的答案，再加上我最近正好再做生成函数这一套理论。这道题目就往这方面想了。
我们假设物品的数量比较少，来看看怎么做这道题目。首先每个物品的个数可以直接看成无限，那么对于一个体积为\(V\)的物品，我们可以直接构建生成函数。
\[A(x)=\sum_{i=0}^{\infty}[i\%V=0]x^i=\frac{1}{1-x^V}
\]
显然答案就是\(m\)个生成函数的卷积。
如果直接做答案是\(O(mnlogn)\)，显然不是正确的复杂度。
我们看看怎么优化。
生成函数除了形式幂级数的形式还有封闭形式，我在\(A(x)\)的后面已经写出了封闭形式，所以只需要把封闭形式的卷积求出来，然后求个逆还原多项式就行了。
但是这样的复杂度是\(O(2^m)\)，还是\(GG\)
我们要考虑一个方法，能够把乘法化简。很自然的想到同时取对数之后就变成了加法，但是多项式求\(ln\)的复杂度也是\(O(nlogn)\)的，但是我们的多项式很特殊，打表后发现它的\(ln\)是一个特殊形式，也就是
\[\sum_{i=0}^{\infty}[i\%V=0]\frac{-1}{i/v}x^i
\]
于是，统计每一个容量的物品个数，然后\(O(m/V)\)给对应的位置加上系数，这样总的复杂度是\(O(nlogn)\)的。
做完这一步相当于给每个封闭形式求\(ln\)之后求完了和。
直接多项式\(exp\)再多项式求逆之后还原多项式，输出答案即可。
提供我的大常数代码。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 277777
const int MOD=998244353;
const int Phi=MOD-1;
const int gr=3;
inline int read()
{
RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return x*t;
}
int fpow(int a,int b)
{
int s=1;
while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}
return s;
}
int r[MAX],N,l,M;
int Og[MAX];
void NTT(int *P,int opt,int n)
{
for(N=1,l=0;N<n;N<<=1)++l;
for(RG int i=0;i<N;++i)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
for(RG int i=0;i<N;++i)if(i<r[i])swap(P[i],P[r[i]]);
for(RG int i=1;i<N;i<<=1)
{
RG int W=fpow(gr,Phi/(i<<1));Og[0]=1;
for(RG int j=1;j<i;++j)Og[j]=1ll*Og[j-1]*W%MOD;
for(RG int p=i<<1,j=0;j<N;j+=p)
for(RG int k=0;k<i;++k)
{
RG int X=P[j+k],Y=1ll*Og[k]*P[i+j+k]%MOD;
P[j+k]=(X+Y)%MOD;P[i+j+k]=(X+MOD-Y)%MOD;
}
}
if(opt==-1)
{
reverse(&P[1],&P[N]);
for(RG int i=0,inv=fpow(N,MOD-2);i<N;++i)P[i]=1ll*P[i]*inv%MOD;
}
}
int inv[MAX];
void initinv(int N)
{
inv[0]=inv[1]=1;
for(RG int i=2;i<N;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
}
int A[MAX],B[MAX];
void Inv(int *a,int *b,int len)
{
if(len==1){b[0]=fpow(a[0],MOD-2);return;}
Inv(a,b,len>>1);
for(RG int i=0;i<len;++i)A[i]=a[i],B[i]=b[i];
NTT(A,1,len<<1);NTT(B,1,len<<1);
for(RG int i=0;i<(len<<1);++i)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%MOD*B[i]%MOD;
NTT(A,-1,len<<1);
for(RG int i=0;i<len;++i)b[i]=(b[i]+b[i])%MOD;
for(RG int i=0;i<len;++i)b[i]=(b[i]+MOD-A[i])%MOD;
for(RG int i=0;i<(len<<1);++i)A[i]=B[i]=0;
}
int C[MAX],D[MAX];
void Dao(int *a,int *b,int len)
{
for(RG int i=1;i<len;++i)b[i-1]=1ll*i*a[i]%MOD;
b[len]=b[len-1]=0;
}
void Jifen(int *a,int *b,int len)
{
for(RG int i=1;i<len;++i)b[i]=1ll*a[i-1]*inv[i]%MOD;
b[0]=0;
}
void Getln(int *a,int *b,int len)
{
int A[MAX],B[MAX];
memset(A,0,sizeof(A));memset(B,0,sizeof(B));
Dao(a,A,len);
Inv(a,B,len);
NTT(A,1,len<<1);NTT(B,1,len<<1);
for(RG int i=0;i<(len<<1);++i)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%MOD;
NTT(A,-1,len<<1);
Jifen(A,b,len);
for(RG int i=0;i<(len<<1);++i)A[i]=B[i]=0;
}
int E[MAX];
void Exp(int *a,int *b,int len)
{
if(len==1){b[0]=1;return;}
Exp(a,b,len>>1);
for(RG int i=0;i<len;++i)D[i]=b[i];
Getln(b,E,len);
for(RG int i=0;i<len;++i)E[i]=(MOD-E[i]+a[i])%MOD;E[0]=(E[0]+1)%MOD;
NTT(E,1,len<<1);NTT(D,1,len<<1);
for(RG int i=0;i<(len<<1);++i)D[i]=1ll*D[i]*E[i]%MOD;
NTT(D,-1,len<<1);
for(RG int i=0;i<len;++i)b[i]=D[i];
for(RG int i=0;i<(len<<1);++i)D[i]=E[i]=0;
}
void FastPow(int *a,int *b,int K,int len)
{
int E[MAX];memset(E,0,sizeof(E));
Getln(a,E,len);
for(RG int i=0;i<len;++i)E[i]=1ll*K*E[i]%MOD;
Exp(E,b,len);
}
int X[MAX],Y[MAX];
int n,K,TT[MAX],m;
int main()
{
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=n;++i)TT[read()]++;
int N;for(N=1;N<=m;N<<=1);initinv(N);
for(int i=1;i<=m;++i)
if(TT[i])
for(int j=i;j<N;j+=i)
X[j]=(X[j]+1ll*TT[i]*(MOD-inv[j/i]))%MOD;
Exp(X,Y,N);memset(X,0,sizeof(X));Inv(Y,X,N);
for(int i=1;i<=m;++i)printf("%d\n",X[i]);
return 0;
}
