【BZOJ4555】求和（多种解法混合版本）

【BZOJ4555】求和（多种解法混合版本）

题面

BZOJ
给定\(n\),求

\[f(n)=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{i}S(i,j)\times 2^j \times (j!) \]

\(n<=100000\)，结果对\(998244353\)取模。

其中\(S(i,j)\)是第二类斯特林数，表示将\(i\)个有区别的球放入\(j\)个相同的盒子中，每个盒子非空的方案数。

\(S(n,m)=S(n-1,m-1)+S(n-1,m)*m\)

边界条件：\(S(i,0)=0,S(i,i)=1\)

题解

第二类斯特林数考虑组合意义，可以得到另外一个式子

\[S(n,m)=\frac{1}{m!}\sum_{i=0}^{m}(-1)^iC_m^i(m-i)^n \]

具体的考虑方法是：先假设盒子不同，然后枚举哪些盒子为空，容斥算出所有盒子都非空的方案数，然后除掉盒子不同产生的多余的贡献。

将组合数拆开，我们得到

\[S(n,m)=\frac{1}{m!}\sum_{i=0}^{m}(-1)^i\frac{m\ !}{i\ !(m-i)!}(m-i)^n \]

\[S(n,m)=\sum_{i=0}^{m}\frac{(-1)^i}{i\ !}\frac{(m-i)^n}{(m-i)!} \]

这很明显是一个卷积的形式，因此，我们可以利用\(FFT/NTT\)在\(O(nlogn)\)的时间内预处理所有的\(S(n,i),i\in[0,n]\)

做法一：第二类斯特林数展开式(容斥原理)

\[f(n)=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^nS(i,j)2^jj! \]

将第二类斯特林数展开为卷积的形式

\[=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^nj!·2^j(\frac{1}{j!}\sum_{k=0}^j(-1)^k·C_j^k·(j-k)^i) \]

\[\sum_{j=0}^n2^j\sum_{k=0}^j(-1)^k·C_j^k·\sum_{i=0}^n(j-k)^i \]

\[\sum_{j=0}^n2^j·j!\sum_{k=0}^j\frac{(-1)^k}{k!}\frac{\sum_{i=0}^n(j-k)^i}{(j-k)!} \]

\[\sum_{j=0}^n2^j·j!\sum_{k=0}^j\frac{(-1)^k}{k!}\frac{(j-k)^{n+1}-1}{(j-k)!(j-k-1)} \]

不难观察到后半部分是卷积的形式，\(NTT\)预处理即可。
时间复杂度\(O(nlogn)\)

---

定义\(Bell\)数\(B(n)=\sum_{i=1}^{n}S(n,i)\)。表示\(i\)个不同的球分成任意个非空集合的方案数。
我们可以得到式子

\[B(n)=\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^iB(i) \]

证明：考虑组合意义，枚举与\(1\)号球在不同集合内的个数，相当于划分为了子问题处理。
设\(S^{'}(n,i)=S(n,i)i\ !\)，表示集合不相同的第二类斯特林数。同理定义\(B^{'}(n)\)

\[B^{'}(n)=\sum_{i=1}^{n}C_n^iB^{'}(n-i) \]

证明：集合之间已经没有关系了，枚举第一个集合中的元素个数，其他的相当于划分为了子问题处理。
设题目所求

\[\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{i}S(i,j)\times 2^j \times (j!)=\sum_{i=0}^nf(i) \]

\[f(n)=\sum_{i=0}^{n}S(i,j)j\ !2^j \]

前面部分相当于\(B'(n)\),后面部分可以看做每一个集合有两种颜色，每次在一种颜色中放球。
那么，类似于前面的\(S',B'\)我们可以写出

\[f(n)=2\sum_{i=1}^nC_n^if(n-i) \]

即考虑第一个集合中的元素个数，以及当前集合的颜色。

将组合数拆开考虑，得到。

\[f(n)=2n!\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i\ !}\frac{f(n-i)}{(n-i)!} \]

方法二：\(CDQ\)分治\(+FFT\)/分治\(FFT\)

将式子稍微改写一下

\[\frac{f(n)}{n!}=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{2}{i\ !}\frac{f(i)}{(n-i)!} \]

设\(g(i)=\frac{2}{i\ !}\)。可以使用\(CDQ\)分治+\(FFT\)来实现。

我们观察到如果要算出\(f(n)\),\(f(1..n-1)\)就必须求得，于是，我们进行分治，每次左侧的\(f\)值可以对右侧的值产生贡献，贡献就是\(f(i)\)和\(g(i)\)的卷积。这就是一个\(CDQ\)分治，时间复杂度\(O(nlog^2n)\)

方法三：生成函数＋多项式求逆

\[\frac{f(n)}{n!}=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{2}{i\ !}\frac{f(i)}{(n-i)!} \]

设\(F(x)\)是\(f(n)\)的\(EGF\),\(G(n)\)是\(g(i)=\frac{2}{i\ !}\)的\(OEG\),特别注意的是，\(g(0)=0\)

所以我们有\(F(x)=F(x)G(x)+1\)。需要\(+1\)的原因是\(g(0)=0,f(0)=1\)。于是我们解一下方程

\[F(x)=\frac{1}{1-G(x)} \]

多项式求逆即可。
时间复杂度\(O(nlogn)\)

---

方法一代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MOD 998244353
#define MAX 500000
const int pr=3;
const int phi=MOD-1;
int fpow(int a,int b)
{
	int s=1;
	while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}
	return s;
}
int r[MAX],N,M,l;
int jc[MAX],inv[MAX];
int a[MAX],b[MAX],S[MAX];
void NTT(int *P,int opt)
{
	for(int i=0;i<N;++i)if(i<r[i])swap(P[i],P[r[i]]);
	for(int i=1;i<N;i<<=1)
	{
		int W=fpow(pr,phi/(i<<1));
		for(int p=i<<1,j=0;j<N;j+=p)
		{
			int w=1;
			for(int k=0;k<i;++k,w=1ll*w*W%MOD)
			{
				int X=P[j+k],Y=1ll*w*P[i+j+k]%MOD;
				P[j+k]=(X+Y)%MOD;P[i+j+k]=((X-Y)%MOD+MOD)%MOD;
			}
		}
	}
	if(opt==-1)reverse(&P[1],&P[N]);
}
void Work()
{
	M+=N;
	for(N=1;N<=M;N<<=1)++l;
	for(int i=0;i<N;++i)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	NTT(a,1);NTT(b,1);
	for(int i=0;i<N;++i)a[i]=1ll*a[i]*b[i]%MOD;
	NTT(a,-1);
	for(int i=0,inv=fpow(N,MOD-2);i<N;++i)a[i]=1ll*a[i]*inv%MOD;
}
int n,ans;
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	N=M=n;
	jc[0]=inv[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%MOD;
	for(int i=1;i<=n;++i)inv[i]=fpow(jc[i],MOD-2);
	for(int i=0;i<=n;++i)a[i]=(i&1)?-1:1;
	for(int i=0;i<=n;++i)a[i]=(1ll*a[i]*inv[i]%MOD+MOD)%MOD;
	for(int i=2;i<=n;++i)b[i]=(fpow(i,n+1)-1+MOD)%MOD;
	for(int i=2;i<=n;++i)b[i]=1ll*b[i]*inv[i]%MOD;
	for(int i=2;i<=n;++i)b[i]=1ll*b[i]*fpow(i-1,MOD-2)%MOD;
	b[0]=1;b[1]=n+1;
	Work();
	for(int i=0,p=1;i<=n;++i,p=(p+p)%MOD)ans=(ans+1ll*jc[i]*p%MOD*a[i]%MOD)%MOD;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

方法二代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 333333
#define MOD (998244353)
inline int read()
{
    RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
int fpow(int a,int b)
{
	int s=1;
	while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}
	return s;
}
int jc[MAX],inv[MAX],jv[MAX],n;
int f[MAX],g[MAX];
void prepare(int N)
{
	jc[0]=jv[0]=jc[1]=inv[1]=jv[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;++i)jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%MOD;
	for(int i=2;i<=N;++i)inv[i]=1ll*(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;
	for(int i=2;i<=N;++i)jv[i]=1ll*jv[i-1]*inv[i]%MOD;
	for(int i=1;i<=N;++i)g[i]=(jv[i]+jv[i])%MOD;
}
int r[MAX];
void NTT(int *P,int len,int opt)
{
	int N,l=0;for(N=1;N<len;N<<=1)++l;
	for(int i=0;i<N;++i)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	for(int i=0;i<N;++i)if(i<r[i])swap(P[i],P[r[i]]);
	for(int i=1;i<N;i<<=1)
	{
		int W=fpow(3,(MOD-1)/(i<<1));
		for(int p=i<<1,j=0;j<N;j+=p)
		{
			int w=1;
			for(int k=0;k<i;++k,w=1ll*w*W%MOD)
			{
				int X=P[j+k],Y=1ll*w*P[i+j+k]%MOD;
				P[j+k]=(X+Y)%MOD;P[i+j+k]=(X+MOD-Y)%MOD;
			}
		}
	}
	if(opt==-1)
	{
		reverse(&P[1],&P[N]);
		for(int i=0,inv=fpow(N,MOD-2);i<N;++i)P[i]=1ll*P[i]*inv%MOD;
	}
}
int A[MAX],B[MAX];
void CDQ(int l,int r)
{
	if(l==r)return;
	int mid=(l+r)>>1;
	CDQ(l,mid);
	for(int i=0;i<=mid-l;++i)A[i]=f[i+l];
	for(int i=0;i<=r-l;++i)B[i]=g[i];
	int N;for(N=1;N<=mid+r-l-l+1;N<<=1);
	NTT(A,N,1);NTT(B,N,1);
	for(int i=0;i<N;++i)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%MOD;
	NTT(A,N,-1);
	for(int i=mid-l+1;i<=r-l;++i)f[i+l]=(A[i]+f[i+l])%MOD;
	for(int i=0;i<N;++i)A[i]=B[i]=0;
	CDQ(mid+1,r);
}
int main()
{
	prepare(n=read());
	f[0]=1;
	CDQ(0,n);
	int ans=0;
	for(int i=0;i<=n;++i)ans=(ans+1ll*f[i]*jc[i]%MOD)%MOD;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

方法三代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 333333
#define MOD (998244353)
inline int read()
{
    RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
int fpow(int a,int b)
{
	int s=1;
	while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}
	return s;
}
int inv[MAX],jc[MAX],n;
int f[MAX],g[MAX];
void prepare(int N)
{
	inv[1]=inv[0]=jc[0]=jc[1]=1;
	for(RG int i=2;i<=N;++i)jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%MOD;
	for(RG int i=2;i<=N;++i)inv[i]=1ll*(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;
	for(RG int i=2;i<=N;++i)inv[i]=1ll*inv[i]*inv[i-1]%MOD;
	for(RG int i=1;i<=N;++i)g[i]=(inv[i]+inv[i])%MOD;
}
int r[MAX],W[MAX];
void NTT(int *P,int len,int opt)
{
	int N,l=0;for(N=1;N<len;N<<=1)++l;
	for(RG int i=0;i<N;++i)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	for(RG int i=0;i<N;++i)if(i<r[i])swap(P[i],P[r[i]]);
	for(RG int i=1;i<N;i<<=1)
	{
		RG int w=fpow(3,(MOD-1)/(i<<1));
		W[0]=1;for(RG int k=1;k<i;++k)W[k]=1ll*W[k-1]*w%MOD;
		for(RG int p=i<<1,j=0;j<N;j+=p)
			for(RG int k=0;k<i;++k)
			{
				int X=P[j+k],Y=1ll*W[k]*P[i+j+k]%MOD;
				P[j+k]=(X+Y)%MOD;P[i+j+k]=(X+MOD-Y)%MOD;
			}
	}
	if(opt==-1)
	{
		reverse(&P[1],&P[N]);
		for(RG int i=0,inv=fpow(N,MOD-2);i<N;++i)P[i]=1ll*P[i]*inv%MOD;
	}
}
int A[MAX],B[MAX];
void Inv(int *a,int *b,int len)
{
	if(len==1){b[0]=fpow(a[0],MOD-2);return;}
	Inv(a,b,len>>1);
	for(RG int i=0;i<len;++i)A[i]=a[i],B[i]=b[i];
	NTT(A,len<<1,1);NTT(B,len<<1,1);
	for(RG int i=0;i<(len<<1);++i)B[i]=1ll*A[i]*B[i]%MOD*B[i]%MOD;
	NTT(B,len<<1,-1);
	for(RG int i=0;i<len;++i)b[i]=((b[i]+b[i])%MOD+MOD-B[i])%MOD;
	for(RG int i=0;i<(len<<1);++i)A[i]=B[i]=0;
}
int main()
{
	prepare(n=read());
	int N;for(N=1;N<=n;N<<=1);
	for(RG int i=0;i<N;++i)g[i]=(MOD-g[i])%MOD;g[0]=1;
	Inv(g,f,N);
	int ans=0;
	for(RG int i=0;i<=n;++i)ans=(ans+1ll*f[i]*jc[i]%MOD)%MOD;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}