带花树算法学习笔记
带花树算法学习笔记
难得yyb写了一个这么正式的标题
Q:为啥要学带花树这种东西啊？
A:因为我太菜了，要多学点东西才能不被吊打
Q:为啥要学带花树这种东西啊？
A:因为我做自己的专题做不动了，只能先去“预习”ppl的专题了
Q:为啥要学带花树这种东西啊？
A:因为可以用来做题啊，比如某WC题目
先推荐一个很皮很皮的带花树讲解：
戳这里嗷
QaQ
言归正传
带花树的算法用来解决一般图的最大匹配问题
说起来，是不是想起来网络流里面的最小路径覆盖？
或者二分图的最大匹配的问题？
的确，带花树解决一般图的最大匹配问题类似于这些东西。
但是肯定是有不同的。
比方说：
我们用匈牙利的思路来解决一般图
我们是可以很容易就让算法挂掉的
只需要一个奇环就可以啦
（让我偷张图片过来）
看见没有
有了一个奇环，在匹配的时候黑白就会翻转过来。
所以我们当然不能直接用匈牙利来做。
但是，这样的问题当然需要解决，
所以就有了带花树算法。
你可以理解为：
带花树算法=匈牙利算法+处理奇环
因为不打算长篇大论，
我按照带花树的步骤来写写这个算法。
（随时对比匈牙利算法）
匈牙利算法第一步：找到一个未被匹配的点，从这个点开始匹配
带花树算法第一步：找到一个未被匹配的点，从这个点开始匹配
貌似没有区别。。。
接下来匈牙利算法会用\(dfs\)来寻找增广路
带花树算法使用\(bfs\)
将当前点丢进队列里面
我们将他染个色，比如说黑色
然后开始\(bfs\)
首先取出队首的黑点\(u\)
找找和它相邻的点\(v,(u,v)\in E\)
如果\(v\)是白点并且在当前的这一次匹配中已经被访问过，则不管这个点
否则，如果当前点\(v\)没有被访问过，并且\(v\)没有匹配点
那么就是找到了一条增广路
记录每一个点的前驱\(pre\)，每个点的匹配点\(match\)
从当前的点\(v\)开始，每个点都和他的前驱两两匹配
沿着增广路全部修改回去就行了，
然后这一次的匹配结束。（这个跟匈牙利是一样的啊）
如果这个点已经有匹配点的话，则去尝试能否修改它的匹配点
因此，这个时候把\(v\)的前驱置为\(u\)，然后把\(v\)的匹配点丢进队列里面。（这也是和匈牙利一样的啊）
继续\(bfs\)，尝试能否修改它的匹配点。
对于上面的情况，明显和匈牙利算法是一模一样的，
但是出现了匈牙利不能解决的情况，也就是奇环。
如果当前黑点\(u\)的相邻点扩展出来了一个黑点\(v\)，
意味着\(u-v-u\)构成了一个奇环
那么我们就要缩环啦，这就是带花树算法的重点。
对于一个奇环，它的点的个数一定是\(2k+1\)的形式
意味着，在奇环内最多只有\(k\)组匹配，
同时，一定有一个点会向外匹配（匹配点不在环内）
现在，如果我们把整个奇环都看成一个点
如果某个增广路找到了奇环上去，我们一定能够重置奇环内的匹配
无非是把增广路找到的奇环上的那个点和增广路上的其他点匹配。
然后奇环剩下的\(2k\)个点两两匹配。
所以，我们可以直接把奇环看成一个点来缩，这个就是开花啦
如果增广路找到了奇环上，我们就把奇环展开重新更新一下匹配就好。
可是，问题是，怎么缩奇环？？？
我们额外维护一个并查集，将同朵花中的节点在并查集中合并
我们先求出他们的最近花祖先
这个要怎么理解?
我们的匹配(\(match\))和前驱(\(pre\))都是边
如果把已经缩好的奇环都看成一个点
那么，这些边和点，就是一棵树。
假设现在出现了\(u-v\)这条边
意味着在树上出现了一个基环（当然也是奇环）
那么，从当前的\(u,v\)所在的奇环开始（如果只有一个点就是它自己啦）
不断的向上走交替地沿着\(match\)和\(pre\)边向上
当然了，每次走当然要走到他所在的奇环（并查集的根节点）所代表的那个位置啦(这是朴素的、暴力的\(lca\)求法)
所以求\(lca\)的代码如下：
int lca(int u,int v)
{
++tim;u=getf(u);v=getf(v);
while(dfn[u]!=tim)
{
dfn[u]=tim;
u=getf(pre[match[u]]);
if(v)swap(u,v);
}
return u;
}
\(dfn\)就是一个标记而已，你在向上跳的时候一边跳一边打标记
如果你在跳完另外一个点后发现这个位置已经被打了标记，
那么就意味着这个点就是\(lca\)啦
好的，我们求出来了\(LCA\)，考虑怎么缩环（开花）
先上代码我再来解释
void Blossom(int x,int y,int w)
{
while(getf(x)!=w)
{
pre[x]=y,y=match[x];
if(vis[y]==2)vis[y]=1,Q.push(y);
if(getf(x)==x)f[x]=w;
if(getf(y)==y)f[y]=w;
x=pre[y];
}
}
\(x,y\)是要开花的奇环的两个点（也就是上面的\(u,v\)）
\(w\)是他们的\(LCA\)
此时\(x,y\)之间可以匹配，但是他们都是黑点。
因为整朵花缩完都是一个黑点
因此，我们把\(x->lca\),\(v->lca\)的路径全部处理即可
因为两部分相同，因此只需要写一个\(Blossom\)函数
看看这个开花是怎么执行的
首先把\(x,y\)用\(pre\)连接起来（默认一朵花中未匹配的点就是\(lca\)，也就是花根)
然后沿着\(x\)(或者\(y\))向上一个个点往上跳
如果跳到某个点是白点，但是花中的所有点都是黑点
所以把白点暴力染黑，然后丢进队列中增广
在跳的过程中，很可能中间跳的是若干个已经缩完的花(缩过的花也是点，但是在维护\(pre\)的时候，还是需要沿着这朵花暴跳，因为还需要维护每个点的匹配信息，只考虑一朵花的话没法维护所有点的信息)
所以在跳跃的过程中，暴力把所有访问到的节点和花的并查集全部合并到\(lca\)上面，表示他们的花根是\(lca\)。
感觉我写的很不清晰
总而言之，我们来总结一下带花树算法的流程
1.每次找一个未匹配的点出来增广
2.在增广过程中，如果相邻点是白点，或者是同一朵花中的节点，则直接跳过这个点
3.如果相邻点是一个未被匹配过的白点，证明找到了增广路，沿着原有的\(pre\)和\(match\)路径，对这一次的匹配结果进行更新
4.如果相邻点是一个被匹配过的白点，那么把这个点的匹配点丢进队列中，尝试能否让这个点的匹配点找到另外一个点进行匹配，从而可以增广。
(以上步骤同匈牙利算法)
5.如果相邻点是一个被匹配过的黑点，证明此时出现了奇环，我们需要将这个环缩成一个黑点。具体的实现过程是：找到他们的最近花公共祖先，也就是他们的花根，同时，沿着当前这两个点一路到花根，将花上的所有节点全部染成黑点（因为一朵花都是黑点），将原来的白点丢进栈中。同时，修改花上所有点的\(pre\)，此时，只剩下花根并不与花内的节点相匹配。
以下是\(UOJ79\)模板题的代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 555
#define MAXL 255555
inline int read()
{
RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return x*t;
}
struct Line{int v,next;}e[MAXL];
int h[MAX],cnt=1;
inline void Add(int u,int v){e[cnt]=(Line){v,h[u]};h[u]=cnt++;}
int match[MAX],pre[MAX],f[MAX],vis[MAX],tim,dfn[MAX];
int n,m,ans;
int getf(int x){return x==f[x]?x:f[x]=getf(f[x]);}
int lca(int u,int v)
{
++tim;u=getf(u);v=getf(v);
while(dfn[u]!=tim)
{
dfn[u]=tim;
u=getf(pre[match[u]]);
if(v)swap(u,v);
}
return u;
}
queue<int> Q;
void Blossom(int x,int y,int w)
{
while(getf(x)!=w)
{
pre[x]=y,y=match[x];
if(vis[y]==2)vis[y]=1,Q.push(y);
if(getf(x)==x)f[x]=w;
if(getf(y)==y)f[y]=w;
x=pre[y];
}
}
bool Aug(int S)
{
for(int i=1;i<=n;++i)f[i]=i,vis[i]=pre[i]=0;
while(!Q.empty())Q.pop();Q.push(S);vis[S]=1;
while(!Q.empty())
{
int u=Q.front();Q.pop();
for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].v;
if(getf(u)==getf(v)||vis[v]==2)continue;
if(!vis[v])
{
vis[v]=2;pre[v]=u;
if(!match[v])
{
for(int x=v,lst;x;x=lst)
lst=match[pre[x]],match[x]=pre[x],match[pre[x]]=x;
return true;
}
vis[match[v]]=1,Q.push(match[v]);
}
else
{
int w=lca(u,v);
Blossom(u,v,w);
Blossom(v,u,w);
}
}
}
return false;
}
int main()
{
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=m;++i)
{
int u=read(),v=read();
Add(u,v);Add(v,u);
}
for(int i=1;i<=n;++i)if(!match[i])ans+=Aug(i);
printf("%d\n",ans);
for(int i=1;i<=n;++i)printf("%d ",match[i]);puts("");
return 0;
}
