【BZOJ3529】数表（莫比乌斯反演，树状数组）

【BZOJ3529】数表（莫比乌斯反演，树状数组）

题解

首先不管\(A\)的范围的限制
要求的东西是

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sigma(gcd(i,j)) \]

其中\(\sigma(x)\)表示\(x\)的约数之和

约数之和是一个积性函数，可以线性筛
具体的做法请参考皮皮亮的Blog

根据常见的套路
把\(gcd\)给提出来

\[\sum_{d=1}^n\sigma(d)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=d] \]

后面那个东西不用说了吧。。
我原来已经推过很多遍啦
可以参考原来推过的式子
所以我直接写啦

\[\sum_{d=1}^n\sigma(d)\sum_{i=1}^{n/d}\mu(i)[\frac{n}{id}][\frac{m}{id}] \]

还是一样的，设\(T=id\)
然后提出来

\[\sum_{T=1}^n[\frac{n}{T}][\frac{m}{T}]\sum_{d|T}\sigma(d)\mu(\frac{T}{d}) \]

如果没有\(A\)的限制
这就可以直接筛后面的那个狄利克雷卷积
然后\(O(\sqrt n)\)的回答每一组询问

现在有了\(A\)的限制，貌似筛出来也没有什么用了
考虑到\(n,m<=10^5\)应该可以乱搞了
所以干脆就先筛出\(\sigma\)和\(\mu\)

然后，这个限制还是很不好搞？？？
范围这么小
那我就暴力呀
离线询问后按照\(A\)排序
然后把\(\sigma\)排序
依次插到相对应的位置
因为要求前缀，就搞一个树状数组来算前缀和就行啦

最后是取膜，为啥要用\(long\ long\)
\(int\)自然溢出就行啦

暴力出奇迹

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define MAX 100000
inline int read()
{
	int x=0,t=1;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return x*t;
}
bool zs[MAX+1];
int pri[MAX],tot;
int mu[MAX+1],sig[MAX+1],sumd[MAX+1],powd[MAX+1];
int T,N,ans[MAX];
struct Ask{int n,m,A,id;}q[MAX];
int p[MAX+1],c[MAX+1];
bool operator<(Ask a,Ask b){return a.A<b.A;}
void pre(int N)
{
	zs[1]=true;sig[1]=mu[1]=p[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;++i)
	{
		p[i]=i;
		if(!zs[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1,sig[i]=i+1,sumd[i]=i+1,powd[i]=i;
		for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=N;++j)
		{
			zs[i*pri[j]]=true;
			if(i%pri[j])
			{
				mu[i*pri[j]]=-mu[i];
				sig[i*pri[j]]=sig[i]*sig[pri[j]];
				sumd[i*pri[j]]=1+pri[j];
				powd[i*pri[j]]=pri[j];
			}
			else
			{
				powd[i*pri[j]]=powd[i]*pri[j];
				sumd[i*pri[j]]=sumd[i]+powd[i*pri[j]];
				sig[i*pri[j]]=sig[i]/sumd[i]*sumd[i*pri[j]];
				break;
			}
		}
	}
}
bool cmp(int a,int b){return sig[a]<sig[b];}
inline int lowbit(int x){return x&(-x);}
void Add(int x,int w){while(x<=N)c[x]+=w,x+=lowbit(x);}
int Query(int x){int ret=0;while(x)ret+=c[x],x-=lowbit(x);return ret;}
int Solve(int x,int y)
{
	int now=0,lst=0,ret=0;
	for(int i=1,j;i<=x;i=j+1)
	{
		j=min(x/(x/i),y/(y/i));
		now=Query(j);
		ret+=(x/i)*(y/i)*(now-lst);
		lst=now;
	}
	return ret;
}
int main()
{
	T=read();
	for(int i=1;i<=T;++i)
	{
		q[i].id=i,q[i].n=read(),q[i].m=read(),q[i].A=read();
		if(q[i].n>q[i].m)swap(q[i].n,q[i].m);
		N=max(N,q[i].n);
	}
	pre(N);
	sort(&q[1],&q[T+1]);sort(&p[1],&p[N+1],cmp);
	for(int i=1,j=1;i<=T;++i)
	{
		for(;j<=N&&sig[p[j]]<=q[i].A;++j)
			for(int k=p[j];k<=N;k+=p[j])
				if(mu[k/p[j]])Add(k,sig[p[j]]*mu[k/p[j]]);
		ans[q[i].id]=Solve(q[i].n,q[i].m);
	}
	for(int i=1;i<=T;++i)
	{
		if(ans[i]<0)ans[i]+=2147483647,ans[i]++;
		printf("%d\n",ans[i]);
	}
	return 0;
}