【BZOJ3944】Sum（杜教筛）
【BZOJ3944】Sum（杜教筛）
题面
求$$\sum_{i=1}n\mu(i)和\sum_{i=1}n\phi(i)$$
范围：\(n<2^{31}\)
令$$S(n)=\sum_{i=1}^n\mu(i)$$
随便找个函数\(g\)和\(\mu\)做狄利克雷卷积
\[(g*\mu)(i)=\sum_{d|i}\mu(d)g(\frac{i}{d})
\]
对这个玩意求前缀和
\[\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\mu(d)g(\frac{i}{d})
\]
把\(d\)给提出来
\[\sum_{d=1}^n\sum_{d|i}\mu(d)g(\frac{i}{d})
\]
\[\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{n/d}\mu(d)g(i)
\]
把\(g(d)\)提出去
\[\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{i=1}^{n/d}\mu(i)
\]
把前面设的东西带回去
\[\sum_{d=1}^ng(d)S(\frac{n}{d})
\]
那么，我们发现，我们要求的是\(S(n)\)
\[g(1)S(n)=\sum_{d=1}^ng(d)S(\frac{n}{d})-\sum_{d=2}^ng(d)S(\frac{n}{d})
\]
\[=\sum_{d=1}^n(g*\mu)(d)-\sum_{d=2}^ng(d)S(\frac{n}{d})
\]
我们知道：
\[\sum_{i|n}\mu(i)=[n=1]
\]
令\(g(x)=1\)
前面一堆东西是什么呀？
\[(1*\mu)(i)=\sum_{d|i}\mu(i)=[i=1]
\]
所以，
\[S(n)=1-\sum_{d=2}^nS(\frac{n}{d})
\]
后面的东西很显然可以数论分块
但是，我们不可能算完所有的东西
所以，线性筛预处理\(n^{\frac{2}{3}}\)项的前缀和
对于大于这个范围的值就做数论分块，然后递归处理
再看一下\(\phi\)怎么做
和前面一样，设出前缀和
\[S(n)=\sum_{i=1}^n\phi(i)
\]
找个函数\(g\)来做卷积
\[(g*\phi)(i)=\sum_{d|i}g(d)\phi(\frac{i}{d})
\]
求个前缀和
\[\sum_{i=1}^n(g*\phi)(i)=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}g(d)\phi(\frac{i}{d})
\]
\(g\)提出来
\[\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{d|i}\phi(\frac{i}{d})
\]
\[=\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{i=1}^{n/d}\phi(i)
\]
\[=\sum_{d=1}^ng(d)S(\frac{n}{d})
\]
根刚才的式子没什么区别
\[S(n)=\sum_{d=1}^ng(d)S(\frac{n}{d})-\sum_{d=2}^ng(d)S(\frac{n}{d})
\]
\[S(n)=\sum_{i=1}^n(g*\phi)(i)-\sum_{d=2}^ng(d)S(\frac{n}{d})
\]
我们又知道一个式子：
\[\sum_{d|i}\phi(d)=i
\]
也就是：$$(1*\phi)(i)=i$$
所以
\[S(n)=\sum_{i=1}^ni-\sum_{d=2}^nS(\frac{n}{d})
\]
\[S(n)=\frac{n(n+1)}{2}-\sum_{d=2}^nS(\frac{n}{d})
\]
和前面一样的，预处理\(n^\frac{2}{3}\)项
然后递归算就可以了
如果紧紧把范围卡在\(n^\frac{2}{3}\)这题会\(TLE\)???
一定是我常数太丑
反正可以多筛点
于是就多筛点
然后就\(AC\)啦???
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define MAX 2500000
#define ll long long
inline ll read()
{
ll x=0,t=1;char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return x*t;
}
bool zs[MAX+10];
int pri[MAX+10],tot;
ll mu[MAX+10],phi[MAX+10];
map<ll,ll> mm,pp;
void pre()
{
zs[1]=true;mu[1]=phi[1]=1;
for(int i=2;i<=MAX;++i)
{
if(!zs[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1,phi[i]=i-1;
for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=MAX;++j)
{
zs[i*pri[j]]=true;
if(i%pri[j])mu[i*pri[j]]=-mu[i],phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
else{mu[i*pri[j]]=0;phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];break;}
}
}
for(int i=1;i<=MAX;++i)phi[i]+=phi[i-1];
for(int i=1;i<=MAX;++i)mu[i]+=mu[i-1];
}
ll Mu(ll x)
{
if(x<=MAX)return mu[x];
if(mm[x])return mm[x];
ll ret=0;
ll i=2,j;
while(i<=x)
{
j=x/(x/i);
ret+=(j-i+1)*Mu(x/i);
i=j+1;
}
return mm[x]=1-ret;
}
ll Phi(ll x)
{
if(x<=MAX)return phi[x];
if(pp[x])return pp[x];
ll ret=0;
ll i=2,j;
while(i<=x)
{
j=x/(x/i);
ret+=(j-i+1)*Phi(x/i);
i=j+1;
}
return pp[x]=x*(x+1)/2-ret;
}
int main()
{
pre();
int T=read();
while(T--)
{
ll n=read();
printf("%lld %lld\n",Phi(n),Mu(n));
}
return 0;
}
