斐波那契数列的鬼畜的性质

斐波那契数列的鬼畜的性质

斐波那契数列定理1

\(gcd(f[i],f[i+1])=1\)
利用辗转相减法
证明：
\(gcd(f[i],f[i+1])\)
\(=gcd(f[i+1]-f[i],f[i])\)
\(=gcd(f[i-1],f[i])\)
\(=....\)
\(=gcd(f[1],f[2])=1\)

斐波那契数列定理2

\(f[m+n]=f[m-1]f[n]+f[m]f[n+1]\)
证明：
\(f[m+n]=f[n+m-1]+f[n+m-2]\)
\(=2*f[n+m-1]+f[n+m-3]\)
\(=....\)
设\(f[n+m]=a[x]f[n+m-x]+b[x]f[n+m-x-1]\)
\(=a[x](f[n+m-x-1]+f[n+m-x-2])+b[x]f[n+m-x-1]\)
\(=(a[x]+b[x])f[n+m-x-1]+a[x]f[n+m-x-2]\)
所以
\(x=1\)时，\(a[1]=f[2]=1,b[1]=f[1]=1\)
\(x=2\)时，\(a[2]=f[1]+f[2]=f[3]=2,b[2]=a[1]=1\)
\(x=k+1\)时，\(a[k+1]=a[k]+b[k]=f[k+1]+f[k]=f[k+2],b[k+1]=a[k]=f[k+1]\)
所以，当\(x=n\)时
\(f[n+m]=a[n]f[m]+b[n]f[m+1]\)
\(=f[n+1]f[m]+f[n]f[m-1]\)

斐波那契数列定理3

\(gcd(f[n+m],f[n])=gcd(f[n],f[m])\)
由上面式子得到
\(gcd(f[n+m]=f[m-1]f[n]+f[m]f[n+1],f[n])\)
\(=gcd(f[n+1]f[m],f[n])\)
\(=gcd(f[n+1],f[n])*gcd(f[m],f[n])\)
\(=1*gcd(f[m],f[n])\)
\(=gcd(f[m],f[n])\)

斐波那契数列定理4

\(gcd(f[n],f[n+m])=f[gcd(n,n+m)]\)
证明
\(gcd(f[n],f[n+m])\)
\(=gcd(f[n],f[n+m]\%f[m])\)
\(=gcd(f[n],f[m])\)
\(=gcd(f[n],f[(n+m)\%n])\)
这是辗转相除的形式
所以，最后有
\(gcd(f[n],f[n+m])\)
\(=gcd(f[0],f[gcd(n,n+m)])\)
\(=f[gcd(n,n+m)]\)