【CJOJ2498】【DP合集】最长上升子序列 LIS

题面

Description

给出一个 1 ∼ n (n ≤ 10^5) 的排列 P
求其最长上升子序列长度

Input

第一行一个正整数n，表示序列中整数个数；
第二行是空格隔开的n个整数组成的序列。

Output

最长上升子序列的长度

Sample Input

7
1 7 3 5 9 4 8

Sample Output

4

题解

分析LIS的两种做法

第一种：

最朴素的DP方法，时间复杂度为O(n^2)
状态：f[i]表示以ai结尾的最长LIS的长度
转移：f[i]=max{f[k]+1}(ak < ai)
代码：

void work()//DP解法,时间复杂度O(n^2) 
{
      f[1]=1;
      for(int i=1;i<=N;++i)
        a[i]=read();  
      for(int i=2;i<=N;++i)
        for(int j=1;j<i;++j)
           if(a[i]>a[j])
              Ans=max(Ans,f[i]=f[j]+1);
      printf("%d\n",Ans);
}

第二种

观察题目，有一个条件：排列P
意味着并没有重复的数字
考虑到只需要求出最长LIS的长度
可以考虑去维护一个LIS
每次读入一个数字之后
如果大于当前的队尾，那么这个数可以更行LIS的长度
否则，找到比他大的数字中最小的那个，替换
这么做的理由是：如果两个数都能够放在LIS的某一位置，放更小的数一定比放更大的数更好。
那么，一边读入，一遍二分查找更新位置，时间复杂度O(nlogn)

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAX 100100
inline int read()
{
	  register int x=0,t=1;
	  register char ch=getchar();
	  while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	  if(ch=='-'){t=-1;ch=getchar();}
	  while(ch<='9'&&ch>='0'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
	  return x*t;
}
int a[MAX];
int N,Ans=0;
//int f[MAX];
/*void work()//DP解法,时间复杂度O(n^2) 
{
      f[1]=1;
      for(int i=1;i<=N;++i)
        a[i]=read();  
      for(int i=2;i<=N;++i)
        for(int j=1;j<i;++j)
           if(a[i]>a[j])
              Ans=max(Ans,f[i]=f[j]+1);
      printf("%d\n",Ans);
}*/
void Work()//正解,使用二分查找(保证了无重复数字) 
{
	  //维护以i结束的LIS的长度
	  //维护排列P中，Pi的最小值，每次二分查找更新即可 
	  int x;
	  vector<int> f;
	  f.push_back(read());//提前读取一个数 
	  for(int i=2;i<=N;++i)
	  {
	  	     x=read();
	  	     if(x>f[f.size()-1])//如果比当前的LIS的最后一位要大，直接增加Ans 
	  	        f.push_back(x);
	  	     else//否则找到一个满足条件的位置，直接替换 
	  	     	*lower_bound(f.begin(),f.end(),x)=x;    
      }
      printf("%d\n",f.size());
}
int main()
{ 
      N=read();
	  //work();//O(n^2)的DP解法 
	  Work();   
      return 0;
}