AVL Tree

今年更新的量达成了

维持树平衡的核心是rotate函数，这个函数与splay中的并无二致。

AVL由于不像splay一样容易变化，因此其insert操作和remove操作需要展开细说。

insert操作前半部分和普通的BST并无二致，即从根节点开始沿着BST开始检查进入左子树还是右子树。最终找到一个空位置即可将这个key值插入进去。而AVL需要保证|height(left_subtree)-height(right_subtree)|<2，因此，在我们完成一次插入操作之后，从插入位置到根节点的所有节点对应的子树的height可能会发生改变，进而引起失衡，此时需要依赖于rotate操作进行调整。假设在u节点处失衡，那么调整前其两个儿子的高度一定是h与h+2，调整后一定是h+1与h+1，而在插入前其高度必为h+1与h。因此，通过调整后其高度不变，那么继续向上的所有父亲节点的高度也不会发生改变，故在insert操作中至多只需要调整一次。调整的细节最后进行陈述。

delete与BST的删除操作是相同的。首先通过查找找到删除的目标节点，记为x。若x是叶子节点，直接断掉其和父亲的边；若x只有一个子树，那么删去x，让其儿子代替其位置即可；若x同时存在两个子树，那么x的后继节点必然存在于其右子树中，沿着右子树一直向左跳，即可得到x的后继，设为v节点。交换两个节点的key值，然后将v节点删掉，由于v节点没有左儿子，故可以归约为前面两种情况中的一种。删除完之后需要向上调整，但删除不具有和插入相同的性质，即删除之后即使经过调整，其高度也可能会改变，进而引起更高祖先子树的失衡，因此需要向上到根节点进行调整。

现在陈述调整操作的情况。设x节点失衡，y是其高度较高的儿子，z是y高度较高的儿子。若y是x的左(右)儿子，且z是y的左(右)儿子，那么只需要将y向上旋转一次即可。否则两个点是异侧儿子，连续旋转两次z节点即可平衡。这个过程由画图可以得到，在这里略过。

最后是查询previous操作，同BST查找过程，如果能找到，直接返回。否则找到的是其可以插入的位置，设如果要插入这个key值，我们找到的父亲是x，我们先假装它被插入进来了，节点叫做v。如果x的key小于给定的key，那么显然这就是前驱。否则这是后继，那么我们只需要找到这个后继的前驱即可。从插入的位置v开始向上，如果v是其父亲的右儿子，那么必然有父亲节点小于key，那么此时就是前驱(因此其他点和他必定存在大小关系，不可能相等)。否则令v等于其父亲，继续向上查找。

由AVL的性质，可以知道其树高无论何时都是\(O(\log(n))\)级别的。

insert操作中，我们找到其插入位置不会超高树高次，即\(O(\log(n))\)次。而向上调整沿着父亲走，次数仍然不超过树高\(O(\log(n))\)。因此，插入操作的总复杂度单次为\(O(\log(n))\)。

delete操作中，找到目标节点的复杂度为\(O(\log(n))\)，删除后的调整次数也是\(O(\log(n))\)。故总复杂度为\(O(\log(n))\)。

查询操作中，仍然还是找到目标位置，故复杂度为\(O(\log(n))\)。

综上，AVL单次复杂度为\(O(\log(n))\)，总复杂度为\(O(n\log(n))\)。