李超线段树

李超线段树

因为太弱了，所以只会用单调队列、CDQ分治、平衡树来维护凸壳，然后被$zjp\_shadow$聚聚在博客底下给D了一顿，所以辣鸡yyb就来学一下了。
（似乎整个机房就我不会了）

首先先明白这个东西在干啥

你要资磁动态维护一个平面直角坐标系，资磁在中间插入一条线段，资磁询问与$x=x0$这条直线相交的所有线段中，交点的$y$轴坐标的最大(小)值。

我们要维护的东西是这个：维护这个区间内的所有直线中，从上往下能够看到的最长的那个线段，也就是没有被其他直线覆盖长度最大的段。

考虑怎么插入一条直线，假设它当前处理到了某个区间：

• 如果这个区间没有记录最长的线段，那么直接把这个区间记录的线段修改为这条线段，然后返回。
• 如果当前线段在这个区间内已经被这个区间内的最长线段为覆盖，那么直接$gg$，返回就好了。
• 反过来，如果完全覆盖了之前记录的线段，那么直接赋值、返回。
• 否则和已经记录的直线有交，判断哪根线段覆盖的区域较长，把这个区间记录的值给修改一下，然后把短的那一半丢下去递归。

这样子复杂度是啥呢？显然维护复杂度看起来不太对的就是最后一项，但是不难证明每次递归下去直线长度都至少要减少一半，所以这个东西的复杂度就是一个$log$的。
至于询问？那就是单点询问啦，在线段树上一直走到这个单点为之，把路径上所有记录的线段拿出来取一个$max$就好啦。

比如BZOJ1568就是模板题QwQ。
当然了，上面这题是每次插入一条直线，这样子只需要一个$log$，如果每次插入一条线段的话还是要稍微变一下的，即要先找到对应的区间再在这个区间内插入这个线段，这样子复杂度是两个$log$的，代码戳这里。

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然后$zjp$说可以用李超线段树直接维护斜率优化，想了想的确可以，我这里随便搬一道题目过来。

[HNOI2010]玩具装箱

首先写暴力$O(n^2)$的转移，设$S_i$是$C_i$的前缀和。

$$f[i]=\min_{j=0}^{i-1}f[j]+(i-j-1+S_i-S_j-L)^2$$

$$f[i]=\min_{j=0}^{i-1}f[j]+(i-j-1)^2+(S_i-S_j-L)^2+2(i-j-1)(S_i-S_j-L)$$

然后把式子拆开，和$j$无关的直接移出去，只和$j$相关的放在一起，同时和$i,j$相关的放在一起。
那么分类之后就是这样的：
和$j$无关的：$i^2-2i+1+S_i^2+L^2-2LS_i+2iS_i-2iL-2S_i+2L$
只和$j$有关的：$f[j]+j^2+2j+S_{j}^2+2LS_j+2jS_j+2jL+2S_j$
同时和$i,j$相关的：$-2ij-2S_iS_j-2iS_j-2jS_i=-2(i+S_i)(j+S_j)$
一共$22$项，似乎没有什么问题。(其实可以直接令$M_i=i-1+S_i-L$，但是为了锻炼拆式子能力就这样吧......算了，我编不下去了.....)
那么把和$j$无关的部分记做$pre[i]$，只和$j$有关的记做$y[j]$，$j+S_j$记做$x[j]$，$2(i+S_i)$记做$k_i$。
那么转移方程可以改写成：

$$f[i]=pre[i]+\min_{j=0}^{i-1}(-k_ix[j]+y[j])$$

而$k_i$是一个常数，我们把后面这个式子理解为一个一次函数$y=kx+b$的形式，得到$b=y-kx$。
什么意思呢？平面上有若干个点$(x[j],y[j])$，你要过这些点画一条斜率为$k_i$的直线，使得其截距最小。
不难发现满足条件的$j$一定在下凸壳上。
这里有个很优秀的性质，也就是$k_i,x[j]$都是单增的。
这样子凸壳可以直接用单调队列维护，而取最优值只需要每次找到凸壳左侧最优位置就好啦。

上面是直接用斜率优化，然后单调队列维护凸壳的做法（我直接从别的文章里蒯过来的）
那么我们把那个式子换一下，把$y[j]$写成$b[j]$，$-x[j]$写成$k[j]$，
那么转移就是

$$f[i]=pre[i]+\min_{j=0}^{i-1}2(i+S_i)k[j]+b[j]$$

于是问题变成了，平面上有若干条直线，现在你要询问在$x=2(i+S_i)$处的最小值，所以可以直接使用李超线段树来维护。（虽然复杂度多了一个$log$）。