【agc013d】Piling Up（动态规划）

【agc013d】Piling Up（动态规划）

题面

atcoder
洛谷
有\(n\)个球，颜色为黑白中的一种，初始时颜色任意。
进行\(m\)次操作，每次操作都是先拿出一个求，再放进黑白各一个，再拿出一个球。
求最终拿出球的序列的方案数。

题解

首先可以把操作看成每次拿出一个球把它染上任意一种颜色。
设\(f[i][j]\)表示进行完前\(i\)次操作，还剩下\(j\)个黑球的方案数。
拿出球的序列如果只从黑球的角度来看的话，可以看成一个\(+1,-1\)组成的折线。
如果折线能够到达的最小值不为\(0\)，那么我们可以通过平移把它移到\(0\)这个位置，并且平移过程中所有的操作序列所得到的结果串都是一样的。
那么我们强制只在\(0\)位置计算答案，给状态额外加上一维，表示\(j\)是否到达过\(0\)。
这样子答案就是\(\sum f[m][j][1]\)了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define MOD 1000000007
#define MAX 3030
void add(int &x,int y){x+=y;if(x>=MOD)x-=MOD;}
int n,m,ans,f[MAX][MAX][2];
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);f[0][0][1]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)f[0][i][0]=1;
	for(int i=1;i<=m;++i)
		for(int j=0;j<=n;++j)
			for(int k=0;k<=1;++k)
			{
				if(j)add(f[i][j][k|(j==1)],f[i-1][j][k]),add(f[i][j-1][k|(j==1)],f[i-1][j][k]);
				if(n-j)add(f[i][j+1][k],f[i-1][j][k]),add(f[i][j][k],f[i-1][j][k]);
			}
	for(int i=0;i<=n;++i)add(ans,f[m][i][1]);
	printf("%d\n",ans);return 0;
}