常系数齐次线性递推

常系数齐次线性递推

要干啥

已知

\[f[n]=\sum_{i=1}^k C_if[n-i] \]

求\(f[n]\)的值，\(n\le 10^9,k\le 20000\)，答案取模。

暴力做法

如果复杂度\(O(nk)\)允许的话，显然是可以直接\(dp\)转移的。
当\(k\)很小的时候，转移写成矩阵形式，假设转移矩阵为\(M\)，可以得到：\(\displaystyle f[n]=f[0]*M^n\)，这里的\(f\)是向量的形式。
复杂度为\(O(k^3logn)\)

所以到底要怎么做

显然我们已知矩乘的时候是一个\(n\)维向量乘上转移矩阵得到了一个\(n\)维向量。
考虑这个转移的特征方程：

\[x^k=\sum_{i=1}^k C_ix^{k-i} \]

把它移项之后我们定义为特征多项式\(C(x)\)：

\[C(x)=x^k-\sum_{i=1}^k C_ix^{k-i} \]

根据\(Cayley–Hamilton\)定理，得到\(C(M)=0\)，即把\(x\)替换为转移矩阵\(M\)，最终的结果是一个零矩阵。
而我们要求的就是\(M^n\)，因此，我们只需要知道\(M^n\ mod \ C(M)\)的结果就好了。
求解这个过程可以类似快速幂的倍增求解，复杂度是两个\(log\)。
假设最终求解出来的余数多项式为

\[G(x)=\sum_{i=0}^{k-1}g_ix^i \]

假设我们中间的向量为\(A[i]\)，那么最终我们的答案向量可以写成：

\[\begin{aligned} A[0]G(M)&=A[0]\sum_{i=0}^{k-1}g_iM^i\\ A[0]G(M)&=\sum_{i=0}^{k-1}g_i(A[0]M^i)\\ A[0]G(M)&=\sum_{i=0}^{k-1}g_iA[i] \end{aligned}\]

而事实上我们要求的并不是最终的向量\(A[n]\)，而只有向量\(A[n]\)的最后一项。
因此：

\[f[n]=\sum_{i=0}^{k-1}g_if[i] \]

那么这样一来我们把矩阵的转移变成了简单的数之间的转移。
时间复杂度为\(O(klogklogn)\)

似乎这篇文章里面有些细节上的东西写得不是很好，意会一下就好了。