随笔分类 - 数学方法 -- 数论

摘要：【51Nod1584】加权约数和（数论）题面 "51Nod" 题解要求的是

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} m a x (i, j) σ (i j)

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n max(i,j)\sigma(ij)$ 这个

m a x

$max$ 太讨厌了，直接枚举一半乘个二。 $$2\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{i}i\sigma(ij) 阅读全文

posted @ 2019-07-06 09:51 小蒟蒻yyb 阅读(743) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【51Nod1769】Clarke and math2（数论，组合数学）

摘要：【51Nod1769】Clarke and math2（数论，组合数学）题面 "51Nod" 题解考虑枚举一个

i_{k}

$i_k$ ，枚举一个

i

$i$ ，怎么计算

i_{k}

$i_k$ 对

i

$i$ 的贡献。把

\frac{i}{i_{k}}

$\frac{i}{i_k}$ 拆掉，维护一个长度为

k

$k$ 的数组，表示

\frac{i_{k 1}}{i_{k}}

$\frac{i_{k 1}}{i_{k}}$ ，对于阅读全文

posted @ 2019-07-05 16:53 小蒟蒻yyb 阅读(335) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【洛谷5438】【XR-2】记忆（数论）

摘要：【洛谷5438】【XR 2】记忆（数论）题面 "洛谷" 题解很好的一道题目。我们首先把所有数的每个质因子的出现次数模二，也就是把最大的完全平方因子给除掉。然后剩下部分一样的就可以产生

1

$1$ 的贡献，所以答案就是

r l + 1

$r l+1$ 减去除掉完全平方因子之后不同的数的个数。那么如果

l = 1

$l=1$ ，答案就是不阅读全文

posted @ 2019-06-30 15:46 小蒟蒻yyb 阅读(493) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【LOJ#3144】[APIO2019]奇怪装置（数论）

摘要：【LOJ 3144】[APIO2019]奇怪装置（数论）题面 "LOJ" 题解突然发现

L O J

$LOJ$ 上有

A P I O

$APIO$ 的题啦，赶快来做一做。这题是窝考场上切了的题嗷。写完暴力之后再推了推就推出正解了。。。考虑

t 1, t 2

$t1,t2$ 两个时刻，如果两个时刻的

(x, y)

$(x,y)$ 相等的话，考虑是一种什么样的情况。 $ 阅读全文

posted @ 2019-06-26 20:35 小蒟蒻yyb 阅读(467) 评论(2) 推荐(0) 编辑

【Luogu5348】密码解锁（莫比乌斯反演，数论）

摘要：【Luogu5348】密码解锁（莫比乌斯反演，数论）题面 "洛谷" 题解首先题目给定的限制是

\sum_{n | i} a [i] = μ (n)

$\sum_{n|i}a[i]=\mu(n)$ ，然后把这个东西反演一下，莫比乌斯反演的式子是：$g(n)=\sum_{n|i}f(i)\rightarrow f(n)=\sum_{n|i}g(i)\mu 阅读全文

posted @ 2019-05-07 10:00 小蒟蒻yyb 阅读(554) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【BZOJ4002】[JLOI2015]有意义的字符串（数论，矩阵快速幂）

摘要：【BZOJ4002】[JLOI2015]有意义的字符串（数论，矩阵快速幂）题面 "BZOJ" "洛谷" 题解发现我这种题总是做不动。。。令

A = \frac{b + \sqrt{d}}{2}, B = \frac{b \sqrt{d}}{2}

$A=\frac{b+\sqrt d}{2},B=\frac{b \sqrt d}{2}$ 。发现

A + B = b, A B = \frac{b^{2} d}{4}

$A+B=b,AB=\frac{b^2 d}{4}$ 。要阅读全文

posted @ 2019-04-24 22:30 小蒟蒻yyb 阅读(339) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[BJOI2019]勘破神机（斯特林数，数论）

摘要：[BJOI2019]勘破神机（斯特林数，数论）题面 "洛谷" 题解先考虑

m = 2

$m=2$ 的情况。显然方案数就是

f_{i} = f_{i 1} + f_{i 2}

$f_i=f_{i 1}+f_{i 2}$ ，即斐波那契数，虽然这里求出来是斐波那契的第

n + 1

$n+1$ 项，但是本质上没什么区别，就默认是斐波那契数列了。斐波那契数列的特征根是$\alpha=\f 阅读全文

posted @ 2019-04-21 22:42 小蒟蒻yyb 阅读(772) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【CF932E】Perpetual Subtraction（NTT，线性代数）

摘要：【CF932E】Perpetual Subtraction（NTT，线性代数）题面 "洛谷" "CF" 题解设

f_{i, j}

$f_{i,j}$ 表示

i

$i$ 轮之后这个数恰好为

j

$j$ 的概率。得到转移：$\displaystyle f_{i,j}=\sum_{k=j}^{n}f_{i 1,k} \frac{1}{k 阅读全文

posted @ 2019-04-21 16:32 小蒟蒻yyb 阅读(419) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【BZOJ2721】樱花（数论）

摘要：【BZOJ2721】樱花（数论）题面 "BZOJ" 题解先化简一下式子，得到：

n! (x + y) = x y

$\displaystyle n!(x+y)=xy$ ，不难从这个式子中得到

x, y > n!

$x,y\gt n!$ 。然后通过

x

$x$ 来表示

y

$y$ ，得到

y = \frac{n! x}{x n!}

$\displaystyle y=\frac{n!x}{x n!}$ 。令$x=n!+p 阅读全文

posted @ 2019-04-20 11:28 小蒟蒻yyb 阅读(444) 评论(0) 推荐(1) 编辑

【BZOJ5332】[SDOI2018]旧试题（数论，三元环计数）

摘要：【BZOJ5332】[SDOI2018]旧试题（数论，三元环计数）题面 "BZOJ" "洛谷" 题解如果只有一个

\sum

$\sum$ ，那么我们可以枚举每个答案的出现次数。首先约数个数这个东西很不爽，就搞一搞，变成

\sum_{d | i} 1

$\displaystyle \sum_{d|i}1$ 那么原式就可以写成：$\displ 阅读全文

posted @ 2019-03-22 22:36 小蒟蒻yyb 阅读(423) 评论(0) 推荐(1) 编辑

【BZOJ3157/3516】国王奇遇记（数论）

摘要：【BZOJ3157/3516】国王奇遇记（数论）题面 "BZOJ3157" "BZOJ3516" 题解先考虑怎么做

m \leq 100

$m\le 100$ 的情况、令

f (n, k) = \sum_{i = 1}^{n} i^{k} m^{i}

$f(n,k)=\displaystyle \sum_{i=1}^n i^k m^i$ ，然后推式子： $$\begin{aligned} f(n+1, 阅读全文

posted @ 2019-03-22 16:25 小蒟蒻yyb 阅读(418) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【BZOJ2137】submultiple（数论）

摘要：【BZOJ2137】submultiple（数论）题面 "BZOJ" 题解首先不难发现答案就是：

\prod_{i = 1}^{n} (\sum_{j = 1}^{p_{i} + 1} j^{k})

$\displaystyle\prod_{i=1}^n (\sum_{j=1}^{p_i+1}j^k)$ 。数据范围给定了。发现对于

p_{i}

$p_i$ 很小的时候，可以直接用快速幂预处理出来，这样子可以做到$ 阅读全文

posted @ 2019-03-21 23:06 小蒟蒻yyb 阅读(505) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【BZOJ3601】一个人的数论（数论）

摘要：【BZOJ3601】一个人的数论（数论）题面 "BZOJ" 怎么这图片这么大啊。。。题解要求的是

\sum_{i = 1}^{n} [g c d (i, n) = 1] i^{d}

$\displaystyle \sum_{i=1}^n [gcd(i,n)=1]i^d$ 然后把

g c d = 1

$gcd=1$ 给拆了，$\displaystyle \sum_{i=1}^n i^d\sum_{x|i 阅读全文

posted @ 2019-03-09 21:35 小蒟蒻yyb 阅读(879) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【BZOJ3561】DZY Loves Math VI （数论）

摘要：【BZOJ3561】DZY Loves Math VI （数论）题面 "BZOJ" 题解 $$\begin{aligned} ans&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{d=1}^n "gcd(i,j)=d" ^d\\ &=\sum_{d=1}^nd^d\sum_{i=1 阅读全文

posted @ 2019-03-09 17:17 小蒟蒻yyb 阅读(246) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【BZOJ3817/UOJ42】Sum（类欧）

摘要：【BZOJ3817/UOJ42】Sum（类欧）题面 "BZOJ" "UOJ" 题解令

x = \sqrt{r}

$x=\sqrt r$ ，那么要求的式子是

\sum_{d = 1}^{n} (1)^{[d x]}

$\sum_{d=1}^n( 1)^{[dx]}$ 不难发现，对于每个

d

$d$ 而言的取值只和

[d x]

$[dx]$ 的奇偶性相关。如果

x

$x$ 是个整数，也就是

r

$r$ 是完全平方数的时候阅读全文

posted @ 2018-12-09 10:09 小蒟蒻yyb 阅读(612) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【BZOJ2299】[HAOI2011]向量（数论）

摘要：【BZOJ2299】[HAOI2011]向量（数论）题面 "BZOJ" "洛谷" 题解首先如果我们的向量的系数假装可以是负数，那么不难发现真正有用的向量只有

4

$4$ 个，我们把它列出来。

(a, b) (a, b) (b, a) (b, a)

$(a,b)(a, b)(b,a)(b, a)$ ，我们假设这四个出现的次数分别为

c 1, c 2, c 3, c 4

$c1,c2,c3,c4$ 。那么阅读全文

posted @ 2018-11-05 20:37 小蒟蒻yyb 阅读(307) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【BZOJ1876】[SDOI2009]SuperGCD（数论，高精度）

摘要：【BZOJ1876】[SDOI2009]SuperGCD（数论，高精度）题面 "BZOJ" "洛谷" 题解那些说数论只会

g c d

$gcd$ 的人呢？我现在连

g c d

$gcd$ 都不会，谁来教教我啊？显然

g c d

$gcd$ 除了辗转相除之外还可以辗转相减，然而辗转相减对于这题而言显然还不够优秀。我们这样子来做。如果当前$ 阅读全文

posted @ 2018-10-15 21:20 小蒟蒻yyb 阅读(284) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【BZOJ2257】[JSOI2009]瓶子和燃料（数论）

摘要：【BZOJ2257】[JSOI2009]瓶子和燃料（数论）题面 "BZOJ" "洛谷" 题解很明显就是从

n

$n$ 个数里面选

K

$K$ 个数让他们的

g c d

$gcd$ 最大。暴力找所有数的因数，拿个什么东西存一下就好了。阅读全文

posted @ 2018-10-15 17:09 小蒟蒻yyb 阅读(264) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【BZOJ1965】[AHOI2005]洗牌（数论）

摘要：【BZOJ1965】[AHOI2005]洗牌（数论）题面 "BZOJ" "洛谷" 题解考虑反过来做这个洗牌的操作，假定当前牌是第

l

$l$ 张。因为之前洗的时候考虑了前一半和后一半，所以根据

l

$l$ 的奇偶性可以判定在前一半还是后一半，那么

l / 2

$l/2$ 就是在这一半里面在它前面的张数，这样子很容易就可以还原阅读全文

posted @ 2018-10-03 14:55 小蒟蒻yyb 阅读(346) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【Luogu4609】建筑师（第一类斯特林数，组合数学）

摘要：【Luogu4609】建筑师（组合数学）题面 "洛谷" 题解首先发现整个数组一定被最高值切成左右两半，因此除去最高值之后在左右分开考虑。考虑一个暴力

d p

$dp$ ，设

f [i] [j]

$f[i][j]$ 表示用了

i

$i$ 个数并且能够看到

j

$j$ 个的方案数，强制最大值在最右侧。每次添加最小的一个数放进来：$f[i][j] 阅读全文

posted @ 2018-08-28 13:59 小蒟蒻yyb 阅读(528) 评论(2) 推荐(0) 编辑

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