乱七八糟笔记

合集 - 题解(1)

1.乱七八糟笔记02-27

P1450 [HAOI2008] 硬币购物

题目描述

共有 $4$ 种硬币。面值分别为 $c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}$ 。

某人去商店买东西，去了 $n$ 次，对于每次购买，他带了 $d_{i}$ 枚 $i$ 种硬币，想购买 $s$ 的价值的东西。请问每次有多少种付款方法。

输入格式

输入的第一行是五个整数，分别代表 $c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}, n$ 。

接下来 $n$ 行，每行有五个整数，描述一次购买，分别代表 $d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4}, s$ 。

输出格式

对于每次购买，输出一行一个整数代表答案。

数据规模与约定

对于 $100 %$ 的数据，保证 $1 \leq c_{i}, d_{i}, s \leq 10^{5}$ ， $1 \leq n \leq 1000$ 。

思路

1st.转化题面

求方程 $c_{1} X_{1} + c_{2} X_{2} + c_{3} X_{3} + c_{4} X_{4} = s$ 的解的个数。
其中 $0 \leq X_{i} \leq d_{i}$ 。

2nd.猜测算法

一.多重背包
考虑有解的重复性问题，以及数据量过大。
否决。
二.完全背包加容斥原理
考虑用完全背包算出所有解的数量，再用容斥原理消去错解数量。
通过。

3rd.求错解

简化方程，其中 Cn 为余项， $C n = a c_{1} + b c_{2} + c c_{3} + d c_{4}$ 。
得 $s = X c_{1} + C n$ 。
当 $X = d_{i} + 1$ 时，则 $(X + a), b, c, d$ 必定是一组错解，因为不论 $a$ 的取值，必有 $(X + a) > d_{1}$ 。
接下来只须枚举 $i$ ，用完全背包计算 $s - (d_{i} + 1) c_{i}$ 的解的个数，再用总解数减去。
但这样的话可能有重复解，用容斥原理消去即可。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

const int N = 1e5;
int c[10], d[10], n, s;
int f[100010], ans;

void dfs(int dep, int tmp, int num) {
	if (dep > 4) {
		if (!num || tmp < 0) return;
		ans += (num % 2) ? f[tmp] : f[tmp] * (-1);
		return;
	}
	dfs(dep + 1, tmp - c[dep] * (d[dep] + 1), num + 1);
	dfs(dep + 1, tmp, num);
}

signed main() {
	for (int i = 1; i <= 4; i++) cin >> c[i];
	cin >> n;
	f[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= 4; i++)
		for (int j = c[i]; j <= N; j++)
			f[j] += f[j - c[i]];
	while(n--) {
		for (int i = 1; i <= 4; i++) cin >> d[i];
		cin >> s;
		ans = 0;
		dfs(1, s, 0);
		cout << f[s] - ans << '\n';
	}
    return 0;
}