DP学习_0-1背包问题
问题描述：
给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包容量为c。问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大。在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。因此，该问题称为0-1背包问题。
算法分析：
案例假设：n=3; c=6;
物品的重量w与价值v如下：
|
物品 |
0 |
1 |
2 |
|
w |
3 |
2 |
1 |
|
v |
3 |
2 |
1 |
程序要维护的表（人工算出）：
|
i j |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
2 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
3 |
3 |
3 |
|
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
维护过程说明：
首先在初始化时提供i=2这一行的值，程序运行时遵循以下原则：
1. 当i=n-1时，若j>=w[i],则m(i,j)=v[i]；若0<=j<w[i]，则m(i,j)=0
2. 当i<n-1时，若j>=w[i],则m(i,j)=max{ m(i+1,j), m(i+1,j-w[i])+v[i] }；若0<=j<w[i]，则m(i,j)=m(i+1,j)
对于这个规则的分析：
【m(i+1,j) 容量为j，不新添加第i个物品时的最大价值】
【m(i+1,j-wi)+v[i] 容量j去掉第i个物品质量时的最大值（表中在之前已经求出）直接加上v[i]，即强制添加第i个物品】
【需要添加i的情况的剪贴法解释：强制添加第i物品比不添加，总价值更高】
根据以上分析产生的代码：
//0-1 Knapsack problem
#include <iostream>
#include <vector>
using std::cout;
using std::vector;
using std::cin;
using std::endl;
#define MAX_KNAPSACK 10
#define MAX_CONTAIN 50
class KPC
{
private:
int v[MAX_KNAPSACK];//Value
int w[MAX_KNAPSACK];//Weight
int f[MAX_KNAPSACK][MAX_CONTAIN];//Best Value
vector<int> item[MAX_KNAPSACK][MAX_CONTAIN];//Item List
int c;//Contain
int n;//Item Size
public:
void DP();//物品起始号，当前容量
void PrintVector(vector<int> vect);//打印某一格的物品清单
};
void KPC::PrintVector(vector<int> vect)
{
if(vect.begin() == vect.end()) return;
vector<int>::iterator it;
for(it=vect.begin(); it!=vect.end()-1; it++)
{
cout << *it;
cout << ".";
}
cout << *it;
}
void KPC::DP()
{
cin >> n >> c;//先输入物品数，然后是容量
for(int i=0; i!=n; i++)
{
cin >> w[i] >> v[i];//先重量，后价值
}
//初始化的值将作为基点
//空的部分
int min = w[n-1] < c ? w[n-1] : c;
int j=0;
for(; j<min; j++)
{
f[n-1][j] = 0;
}
//有物部分的第一行
for(; j<=c; j++)
{
f[n-1][j] = v[n-1];
item[n-1][j].push_back(n-1);
}
for(int j = 0; j <= c; j++)//按上到下、左到右顺序填表
{
for(int i=n-2; i>=0; i--)//总质量一定，找到最优值
{
if(j < w[i])
{
for(int t=j; t<=w[i]; t++)
{
f[i][t] = f[i+1][j];
item[i][j] = item[i+1][j];//继承
}
}
else//j == w[i]
{
if(f[i+1][j] > f[i+1][j-w[i]] + v[i])
{
f[i][j] = f[i+1][j];
item[i][j] = item[i+1][j];//继承
}
else
{
f[i][j] = f[i+1][j-w[i]] + v[i];
item[i][j] = item[i+1][j-w[i]];
item[i][j].push_back(i);//添加新物品
}
}
}
}
//输出右下角的值作为最大价值的解
cout << f[0][c] << endl;
//物品的解
PrintVector(item[0][c]);
cout << endl;
//打印填好的价值表
for(int i=n-1; i>=0; i--)
{
for(int j=0; j<=c; j++)
{
cout << f[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
cout << "-------------------" << endl;
//打印填好的物品表
for(int i=n-1; i>=0; i--)
{
for(int j=0; j<=c; j++)
{
cout << "[";
PrintVector(item[i][j]);
cout << "]";
}
cout << endl;
}
}
int main()
{
KPC KP;
KP.DP();
system("pause");
}
运行结果：
3 6
3 3
2 2
1 1
6
2.1.0
0 1 1 1 1 1 1
0 1 2 3 3 3 3
0 1 2 3 4 5 6
-------------------
[][2][2][2][2][2][2]
[][2][1][2.1][2.1][2.1][2.1]
[][2][1][0][2.0][1.0][2.1.0]
Press any key to continue . . .
5 10
1 10
3 5
2 6
9 8
4 7
28
4.2.1.0
0 0 0 0 7 7 7 7 7 7 7
0 0 0 0 7 7 7 7 7 8 8
0 0 6 6 7 7 13 13 13 13 13
0 0 6 6 7 11 13 13 13 18 18
0 10 10 16 16 17 21 23 23 23 28
-------------------
[][][][][4][4][4][4][4][4][4]
[][][][][4][4][4][4][4][3][3]
[][][2][2][4][4][4.2][4.2][4.2][4.2][4.2]
[][][2][2][4][2.1][4.2][4.2][4.2][4.2.1][4.2.1]
[][0][0][2.0][2.0][4.0][2.1.0][4.2.0][4.2.0][4.2.0][4.2.1.0]
Press any key to continue . . .
