【随笔浅谈】自然常数 e 的一些探讨

目录

• 引入
  • 数列 s 单调性证明
  • 数列 s 收敛性证明
  • 数列 e 单调性证明
  • 数列 e 收敛性证明
  • 数列 e, s 的收敛性
• 自然常数 e
  • 1：误差分析
  • 2：性质 & 计算

 

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十分浅显，由很多内容没有提到。有空再来填坑！

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引入

对下列两个数列进行考察。

$$e_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \\s_n = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!}$$

数列 s 单调性证明

显然。

数列 s 收敛性证明

可以证明，当 $n \ge 4$ 时：

$$\begin{aligned}s_n & \leq 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{2^n} \\& = 1 + \frac{1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{n + 1}}{1 - \frac{1}{2}} \\& < 3\end{aligned}$$

故 $\{s_n\}$ 有上界，由于 $\{s_n\}$ 单调递增，故 $s = \lim\limits_{n \to \infty} s_n$ 存在。

Q.E.D

数列 e 单调性证明

证明 1

对 $e_n$ 运用几何平均 - 算术平均不等式：

$$e_n = 1 \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \leq \left( \frac{n\left(1 + \frac{1}{n}\right) + 1}{n + 1} \right)^{n + 1} = \left(1 + \frac{1}{n + 1}\right)^{n + 1} = e_{n + 1}$$

Q.E.D

证明 2

对 $e_n$ 运用二项式定理：

$$\begin{aligned}e_n & = 1 + \sum\limits_{k = 1}^n \dbinom{n}{k} \frac{1}{n^k} \\& = 1 + \sum\limits_{k = 1}^n \frac{n!}{k!(n - k)!} \frac{1}{n^k} \\& = 1 + \sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{k!} \left(1 - \frac{0}{n}\right) \cdots \left(1 - \frac{k - 1}{n}\right)\end{aligned}$$

对比 $e_{n + 1}$：

$$\begin{aligned}e_{n + 1} & = 1 + \sum\limits_{k = 1}^{n + 1} \dbinom{n + 1}{k} \frac{1}{(n + 1)^k} \\& = 1 + \sum\limits_{k = 1}^{n + 1} \frac{1}{k!} \left(1 - \frac{0}{n + 1}\right) \cdots \left(1 - \frac{k - 1}{n + 1}\right)\end{aligned}$$

可以看出 $e_{n + 1}$ 同位置的加项都不弱于 $e_n$，且 $e_{n + 1}$ 还多出来一个非负的加项。故 $e_n < e_{n + 1}$。

Q.E.D

数列 e 收敛性证明

从「数列 e 单调性证明 - 证明 2」中可以看出：

$$e_n \leq 1 + \sum\limits_{k = 1}^n\frac{1}{k!} = s_n < 3$$

故 $\{e_n\}$ 有上界， 由于 $\{e_n\}$ 单调递增，故 $e = \lim\limits_{n \to \infty} e_n$ 存在。

数列 e, s 的收敛性

上述分析，我们得出 $e \leq s$。

下述探讨 $e \geq s$。取 $e_n$ 的前 $m(n \geq m)$ 项：

$$e_n \geq 1 + \sum\limits_{k = 1}^m \frac{1}{k!}\left(1 - \frac{0}{n}\right) \cdots \left(1 - \frac{k - 1}{n}\right)$$

暂时将 $m$ 视为常量，令 $n \to \infty$，则：

$$e \geq 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{m!}$$

令 $m \to \infty$，则 $e \geq s$。

故 $e = s$，数列 $\{e_n\}, \{s_n\}$ 收敛于同一极限。在数学上，我们称该极限为自然常数 $e$：

$$\lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \\\lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!}\right) = e$$

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自然常数 e

1：误差分析

1.1：运用数列 s 逼近的误差分析

由于 $s_{n + 1}$ 相较于 $s_n$ 只需多做一次除法运算与加法运算，运用数列 $\{s_n\}$ 来逼近 $e$ 是很好的。

对于任意正整数 $n, m$，分析 $s_{n + m}$ 与 $s_n$ 的误差：

$$\begin{aligned}0 & < s_{n + m} - s_m \\& = \frac{1}{(n + 1)!} + \cdots + \frac{1}{(n + m)!} \\& = \frac{1}{(n + 1)!}\left(1 + \frac{1}{n + 2} + \cdots + \frac{1}{(n + 2)\cdots(n + m)}\right) \\& < \frac{1}{(n + 1)!}\left(1 + \frac{1}{n + 1} + \cdots + \frac{1}{(n + 1)^{m - 1}}\right) \\& < \frac{1}{(n + 1)!} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{n + 1}} = \frac{1}{n! \cdot n}\end{aligned}$$

令 $m \to \infty$，则：

$$0 < e - s_n \leq \frac{1}{n! \cdot n}$$

可以看到在 $n = 10$ 时，$s_{10}$ 的误差已经小于 $10^{-7}$，此时的近似值为 2.718 281 8。

2：性质 & 计算

2.1：e 的无理性证明

经典反证法，设即约分数 $e = \frac{p}{q}$。因为 $2 < e < 3$，故 $e$ 不可能为整数，从而推断出 $q \geq 2$。

由上述分析得：

$$0 < e - s_q \leq \frac{1}{q! \cdot q} \\0 < q!(e - s_q) \leq \frac{1}{q} \leq \frac{1}{2}$$

将上式展开：

$$\begin{aligned}q!(e - s_q) & = q! \cdot \frac{p}{q} - q!\left( 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots \frac{1}{q!} \right) \\& = (q - 1)!p - \left(q^\underline{q} + q^{\underline{q - 1}} + q^\underline{q - 2} + \cdots + q^\underline{1} + q^{\underline{0}} \right)\end{aligned}$$

可以看出 $q!(e - s_q)$ 是整数，与 $0 < q!(e - s_q) \leq \frac{1}{2}$ 矛盾。

Q.E.D

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2.2：命题

对于 $k \in \mathbb{N}$，下式成立。

$$\lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac{k}{n}\right)^n = e^k$$

证明

对于每个正整数 $n$，将其分解为 $km + j(j < k)$ 的形式，则

$$\left(1 + \frac{k}{n}\right)^n =\left(1 + \frac{1}{m + \frac{j}{k}}\right)^{mk}\left(1 + \frac{1}{m + \frac{j}{k}}\right)^j$$

注意到

$$\lim\limits_{m \to \infty} \left(1 + \frac{1}{m + \frac{j}{k}}\right)^{mk}\left(1 + \frac{1}{m + \frac{j}{k}}\right)^j = e^k$$

相当于是把原序列按照模 $k$ 的同余类，不重不漏地分成 $k$ 个子列，这 $k$ 个子列的极限均为 $e^k$，故原命题成立。

Q.E.D

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2.3：命题

对于 $k \in \mathbb{N}$，下式成立。

$$\lim\limits_{n \to \infty} \left(1 - \frac{k}{n}\right)^n = \frac{1}{e^k}$$

证明

$$\begin{aligned}\left(1 - \frac{k}{n}\right)^n & = \left(\frac{n - k}{n}\right)^n \\& = \frac{1}{\left(\frac{n}{n - k}\right)^n} \\& = \frac{1}{\left(1 + \frac{k}{n - k}\right)^{n - k}\left(1 + \frac{k}{n - k}\right)^k}\end{aligned}$$

两边同时取极限，应用「2.2：命题」，即可得知命题成立。

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2.4：命题

对于 $n \in \mathbb{N}^*$，下式成立。

$$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < e < \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n + 1}$$

证明

引入部分已经证明 $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ 单调递增，现在要证明 $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n + 1}$ 单调递减。

考虑对 $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n + 1}$ 的倒数应用几何平均 - 代数平均不等式：

$$\left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n + 1} \leq \left(\frac{n + 1}{n + 2}\right)^{n + 2}$$

可以发现 $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n + 1}$ 的倒数单调递增，故 $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n + 1}$ 单调递减。

由于 $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ 从左侧收敛于 $e$，$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n + 1}$ 从右侧收敛于 $e$，故命题成立。

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2.5：命题

$$\frac{1}{n + 1} < \ln \left(1 + \frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n}$$

证明

「2.4：命题」取 $\ln$。

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2.6：命题

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n + 1} < \ln(n + 1) < 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}$$

证明

将 $n$ 个「2.5：命题」不等式相加。

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n + 1} < \ln\left(1 + \frac{1}{1}\right) + \cdots + \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) < 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}$$

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n + 1} < \ln\left(\frac{2}{1}\right) + \cdots + \ln\left(\frac{n + 1}{n}\right) < 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}$$

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n + 1} < \ln\left(\frac{2}{1}\frac{3}{2} \cdots \frac{n + 1}{n} \right) < 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}$$

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n + 1} < \ln(n + 1) < 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}$$

Q.E.D