【随笔浅谈】splay 时间复杂度简要分析

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• splay 的复杂度分析
  • 双旋 splay 的三种旋转

 

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splay 的复杂度分析

势能分析

在数据结构问题中，我们往往难以估计第 $i$ 次的实际时间开销 $t_i$。

所以我们要引入一些势能分析的概念：

• 设 $\phi_i$ 表示：第 $i$ 次操作过后，数据结构的势能值。
• 记 $a_i = t_i + \phi_i - \phi_{i - 1}$，即第 $i$ 次操作的均摊时间。

注意：确定势能值的势函数是需要我们自己确定的，寻找一个优秀的势函数往往可以更容易解决问题。

假设执行了 $m$ 次操作，那么总的实际时间为：

$$\sum\limits_{1 \leq i \leq m} t_i = \sum\limits_{1 \leq i \leq m} a_i + \phi_0 - \phi_m$$

所以知道了 $a_i, \phi$ 的复杂度就可以求出总的实际时间了。

在 splay 中，我们取这样的一个势函数：

• 设当前状态下，节点 $x$ 的势能值 $F(x) = \log \text{size}_x$。
• 设当前状态下，整棵 splay 的势能值 $\phi = \sum\limits_{1 \leq i \leq n} F(i)$。

接下来要证明的结论是：

$$\begin{aligned}a_i & \leq 3(F(x') - F(x)) + 1 \\ & = \mathcal{O}\left(\log \frac{n}{\text{size}_x}\right) = \mathcal{O}(\log n)\end{aligned}$$

其中 $F(x), F(x')$ 分别表示伸展 $x$ 前和伸展 $x$ 后节点 $x$ 的势能值。

双旋 splay 的三种旋转

来回顾一下双旋 splay 的三种旋转：

1. 当 $x$ 的父亲 $p$ 是根节点时，直接 zig/zag $x$。

2. 当 $x$ 和上两代祖先位于一条链上：先 zig/zag $p$，再 zig/zag $x$。

3. 当 $x$ 和上两代祖先分叉时：先 zig/zag $x$，再 zig/zag $x$。

第一种旋转的均摊分析（以 zig 为例）

分析：

• 时间开销：旋转了一次。

• 势能变化：子树大小只有节点 $x, y$ 发生了变化，故只有节点 $x, y$ 的势能值发生了变化。

所以可以得到：

$$\begin{aligned}a_{\text{zig}} & = 1 + F(x') + F(y') - F(x) - F(y) \\& = 1 + F(y') - F(x)\end{aligned}$$

适当放缩得：

$$a_{\text{zig}} \leq 3(F(x') - F(x)) + 1$$

第二种旋转的均摊分析（以 zig-zig 为例）

分析：

• 时间开销：旋转了两次。
• 势能变化：子树大小只有节点 $x, y, z$ 发生了变化，故只有节点 $x, y, z$ 的势能值发生了变化。

所以可以得到：

$$\begin{aligned}a_{\text{zig-zig}} & = 2 + F(x') + F(y') + F(z') - F(x) - F(y) - F(z) \\& = 2 + F(y') + F(z') - F(x) - F(y)\end{aligned}$$

然后你发现这个多出来的 $2$ 非常令人不爽。

注意到：

$$F(x) + F(z') - 2 \cdot F(x') \leq \log \frac{\text{size}_x \cdot \text{size}_{z'}}{\text{size}^2_{x'}} \leq -2$$

（均值不等式即可证明，大家都会。）

然后将这两个式子合并可以得到：

$$a_{\text{zig-zig}} \leq 2 \cdot F(x') + F(y') - 2 \cdot F(x) - F(y)$$

适当放缩得：

$$a_{\text{zig-zig}} \leq 3(F(x') - F(x))$$

第三种旋转的均摊分析（以 zig-zag 为例）

分析：

• 时间开销：旋转了两次。
• 势能变化：子树大小只有节点 $x, y, z$ 发生了变化，故只有节点 $x, y, z$ 的势能值发生了变化。

所以可以得到：

$$\begin{aligned}a_{\text{zig-zag}} & = 2 + F(x') + F(y') + F(z') - F(x) - F(y) - F(z) \\& = 2 + F(y') + F(z') - F(x) - F(y)\end{aligned}$$

注意到：

$$F(x) + F(z') - 2 \cdot F(x') \leq \log \frac{\text{size}_x \cdot \text{size}_{z'}}{\text{size}^2_{x'}} \leq -2$$

然后将这两个式子合并可以得到：

$$a_{\text{zig-zag}} \leq 2 \cdot F(x') + F(y') - 2 \cdot F(x) - F(y)$$

适当放缩得：

$$a_{\text{zig-zag}} \leq 3(F(x') - F(x))$$

顺次组合所有操作

在伸展一个节点 $x$ 的时候，将每次旋转的贡献式子连接起来，消除相邻的项，可以得到：

$$\begin{aligned}a_i & \leq 3(F(x') - F(x)) + 1 \\& = \mathcal{O}\left(\log \frac{n}{\text{size}_x}\right) = \mathcal{O}(\log n)\end{aligned}$$

• 因为 $a_i = \mathcal{O}(\log n)$，所以 $\sum\limits_{1 \leq i \leq m} a_i = \mathcal{O}(m \log n)$。
• 因为 $0 \leq \phi \leq n \log n$，所以 $\phi_0 - \phi_m = \mathcal{O}(n \log n)$。

于是 splay 的时间复杂度即为 $\mathcal{O}((n + m) \log n)$。