【随笔浅谈】颜色段均摊算法

目录

• std::set 维护颜色段
• 基于数据随机、区间推平 - 颜色段均摊算法
  • 例题选讲
• 基于操作影响势能 or 与势能无关 - 颜色段均摊算法
  • 例题选讲

 

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十分浅显，由很多内容没有提到。有空再来填坑！

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std::set 维护颜色段

定义颜色段（广义）：放在一起具有某一性质的一段区间。

构造

可以考虑用一个结构体来表示一个颜色段，一个结构体记录了该颜色段的左右端点，以及该颜色段的某信息。然后将这些结构体放入 std::set 中，std::set 内部按照区间的相对顺序排序。

下文的介绍，以维护具有相同颜色的一段区间为例。

view codenamespace PB {
	struct node {
		int l, r;
		mutable int c;

		node(int _l, int _r, int _c) : l(_l), r(_r), c(_c) {}

		bool operator < (const node &rhs) const {
			return l < rhs.l;
		}
	};

	set<node> t;
    typedef set<node>::iterator iter;
}

split 分裂

有时候，对于一个颜色段，我们只需要访问它的其中一段信息即可。

这时候就需要分裂该颜色段了。

定义 $\mathrm{split}(x)$ 函数：将 $x$ 所在的颜色段 $[l, r]$，分裂成颜色段 $[l, x - 1]$ 与颜色段 $[x, r]$；并返回颜色段 $[x, r]$ 在 std::set 中的位置。

view codenamespace PB {
	// ...
	iter split(int x) {
		if (x > n) return t.end();

		iter it = -- t.upper_bound((node){ x, 0, 0 });

		if (it->l == x) return it;

		int l = it->l, r = it->r, c = it->c;
		t.erase(it);
		t.insert((node){ l, x - 1, c }); return t.insert((node){ x, r, c }).first;
	}
}

区间操作

有时候，对于一个序列，我们需要访问一个区间 $[l, r]$ 的信息。

根据分裂操作，就相当于是访问区间 $\left[\mathrm{split}(l), \mathrm{split}(r + 1)\right)$ 中颜色段的信息，依次统计即可。

view codenamespace PB {
	// ...
	void attend(int l, int r) {
		iter itr = split(r + 1), itl = split(l);
		for (iter it = itl; it != itr; it ++) {
			// ...
		}
	}
}

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基于数据随机、区间推平 - 颜色段均摊算法

当一道题目同时保证「数据随机」、「具有区间推平操作」时，大量的区间推平会使得整个序列的势能一直维持在较小的范围内。

可以证明运用 std::set 维护颜色段的方法的时间复杂度为 $\mathcal{O}(n \log \log n)$。hqztrue 的证明。

例题选讲

1.【CF 896C】Willem, Chtholly and Seniorious

CF 896C。

Description

给出一个长度为 $n$ 的序列 $a$，你需要维护这个序列，共 $m$ 次操作，共 $4$ 种操作：

• 1 l r x：对 $\forall i \in[l, r]$，令 $a_i \gets a_i + x$。
• 2 l r x：对 $\forall i \in[l, r]$，令 $a_i \gets x$。
• 3 l r x：求区间 $[l, r]$ 内的第 $k$ 小，数字相同算多次。
• 4 l r x y：求区间 $[l, r]$ 内每个数字的 $x$ 次方模 $y$ 的值。

数据范围：$1 \leq n, m \leq 10^5$，$1 \leq x, y \leq 10^9$。
时空限制：$2000 \ \mathrm{ms} / 250 \ \mathrm{MiB}$。

Solution

该算法起源题。

• 操作 1：将区间 $[l, r]$ 里所有颜色段的颜色加上 $c$ 即可。
• 操作 2：将区间 $[l, r]$ 里所有颜色段的颜色赋为 $c$ 即可。
• 操作 3：访问区间 $[l, r]$ 里的所有颜色段，提取出后排序，找到第一个前缀和 $\geq k$ 的颜色即可。
• 操作 4：访问区间 $[l, r]$ 里的所有颜色段，将每个颜色段用快速幂统一统计即可。

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基于操作影响势能 or 与势能无关 - 颜色段均摊算法

当一道题目保证「操作影响势能」或「操作与势能无关」时，则时间复杂度可以运用均摊分析法来测算。

例题选讲

1.【Luogu P2824】「HEOI2016/TJOI2016」排序

Luogu P2824。

Description

给出一个 $1$ 至 $n$ 的排列，现在对这个排列序列进行 $m$ 次局部排序，排序分为两种：

• 0 l r：表示将区间 $[l, r]$ 的数升序排序。

• 1 l r：表示将区间 $[l, r]$ 的数降序排序。

最后询问第 $q$ 位置上的数字。

数据范围：$1 \leq n \leq 10^5$。
时空限制：$4000 \ \mathrm{ms} / 256 \ \mathrm{MiB}$。

Solution

注意到给区间 $[l, r]$ 内的点 升序 / 降序 排序，是赋予了一个区间有序的性质。

可以用权值线段树来维护一个有序区间内的权值信息，然后将这些有序的区间放入 std::set 中。

套用上述模板即可，不同点只是在于对权值线段树的处理：

• 对于 split 操作，线段树分裂即可；
• 对于区间排序，线段树合并即可；
• 对于查询操作，线段树上二分即可。

由于一次排序操作至多会进行两次线段树分裂，增加的点数是 $\mathcal{O}(\log n)$ 的，故在整个过程中线段树的总节点个数为 $\mathcal{O}((n + m) \log n)$ 级别的。

在区间排序中，由于每访问一个颜色段，就会将该颜色段删去，使得势能降低。

故总时间复杂度为 $\mathcal{O}((n +m) \log n)$。

该做法支持多测 + 强制在线。