PKUWC2025 D2T1

其实是场上的想到的做法，但是当时被卡 corner case 了 QaQ。

注意到，我们其实可以 $O(1)$ 次 query 求出 $x$ 和 $y$ 的距离。具体地，我们再找三个点，现在有 $5$ 个点，$10$ 个距离，而我们又可以 query $10$ 次，正好可以解出两两距离。这里如果 $n\le 4$ 特判手玩就好。

然后考虑动态加点，维护直径。如果只维护直径的两个端点 $x,y$，求距离其实不是很方便。（好像可以 $10$ 次加三个点，应该就是 Subtask 10？）

考虑存三个点 $x,y,z$，并且记录 $\mathrm{dis}(x,y)$，$\mathrm{dis}(y,z)$ 和 $\mathrm{dis}(z,x)$。其中较大的 $\mathrm{dis}$ 就是直径。我们现在考虑加入 $i$。

令 $x$，$y$，$z$ 的中间点为 $p$，不妨设加入的 $i$ 是从 $x-p$ 的链中分叉出来的，分叉点是 $t$。

那么我们查询一下 $(x,y,i)$，$(y,z,i)$，$(z,x,i)$，然后我们又已知 $x$，$y$，$z$ 两两的距离，其实我们可以解出所有的距离。然后就可以更新直径了。

问题是我们并不知道 $i$ 是从哪一条链分叉出去，这个也是可以处理的。可以发现，如果是从 $x-p$ 分叉出去的，那么 ${\displaystyle \frac{\mathrm{query}(x,y,i)}{2}}-\mathrm{dis}(x,y)={\displaystyle \frac{\mathrm{query}(x,z,i)}{2}}-\mathrm{dis}(x,z)=e$，并且 ${\displaystyle \frac{\mathrm{query}(y,z,i)}{2}}-\mathrm{dis}(y,z)\ne e$。

于是我们只要根据上面的条件就可以确定 $i$ 从哪条链分出去。于是就可以 $3$ 次加入一个点了。总次数 $10+3(n-5)=3n-5$。

https://qoj.ac/submission/877333

Upd：

有一个少一些观察的做法。

我们还是动态加点，同时只维护直径的两端点以及距离。

每次加入三个点，那么我们可以用 $10$ 次 query 求出这五个点两两之间距离。

但是我们已经知道了直径长度，相当于少一个未知数，那么我们也可以少一次 query。于是就可以 $9$ 次加入 $3$ 个点。总次数还是 $3n$ 带一些常数的。