ARC184 A ~ D

A

注意到 $950 = 1000 \times \frac{19}{20}$ ，考虑把序列按 $B = 20$ 分块。

每次对于一块 $[l, r]$ ，考虑把每个数和 $l$ 问一遍，可以把 $B$ 个数划分为两个集合。如果两个集合大小不同，那么其中大小较小的就是假币；否则所有假币都在某个集合中，再问一次即可确定哪个集合为假币。

注意一个边界是在最后一块两个集合大小相同时，再问一次会多一次询问，一个办法是把 $[l, n - 1]$ 都和 $1$ 问，然后根据当前假币个数确定 $n$ 。

https://atcoder.jp/contests/arc184/submissions/58110108

B

如果两个数 $x, y$ 在忽略 $2, 3$ 质因子后不同，那么 $x, y$ 是独立的，可以分开算。

那么现在只需要考虑形如 $2^{a} 3^{b}$ 的数了，把 $2^{a} 3^{b}$ 对应到网格上的 $(a, b)$ 位置，那么操作一次 $2^{a} 3^{b}$ 相当于覆盖了 $(a, b), (a + 1, b), (a, b + 1)$ 。令其中的关键点为 $(a + 1, b)$ 。

考虑状压 dp， $f_{i, S}$ 表示从下往上考虑到第 $i$ 行，这一行关键点的集合为 $S$ 的最少操作次数。转移就是做一个高维前缀 $min$ 。这样做一次就是 $2^{\log_{3} n} \log n$ 的。整除分块一下可过。

https://atcoder.jp/contests/arc184/submissions/58105316

C

令 $1$ 代表山折， $0$ 代表谷折， $f_{i}$ 表示第 $i$ 条折痕的种类。

一个重要的观察是 $f_{2 i} = f_{i}$ ， $f_{2 i + 1} = i mod 2$ 。前一个可以考虑忽略最后一次折叠；后面一个考虑在最后一次折叠前，相邻折痕之间的纸带一定是正反交替的，这个可以归纳证明。

不妨把 $f$ 改写成更简单的形式： $f_{i} = ⌊ \frac{i}{2 lowbit (i)} ⌋ mod 2$ 。

注意到把 $A$ 整体加 $k$ 后，其相对大小不变。考虑钦定 $A_{x} + k$ 有最大的 $lowbit$ ，设为 $2^{b}$ ，那么其它的 $A_{i} + k$ 的 $lowbit$ 已经确定，再钦定 $A_{x} + k$ 的第 $b + 1$ 位即可推出所有 $f_{A_{i} + k}$ 。直接暴力就是 $n^{2} \log V$ 。