最小树形图--朱刘算法([JSOI2008]小店购物)

题面

luogu

Sol

首先设一个 \(0\) 号点，向所有点连边，表示初始价值
显然这个图的一个 \(0\) 为根的最小有向生成树的边权和就是每个买一次的最小价值
再买就一定能优惠(包含 \(0\) 的边)

有向图最小生成树？？？

朱刘算法

其实正确性不会理论。。
可以说是一个不断调整的过程，从而得到最优解

时间复杂度 \(O(VE)\)

流程：

1.去掉自环
2.先给每个点选择一条最小的入边，并记录连过来的点
3.如果此时有点没有入边(除根以外)，那么显然无解
4.算上每个点入边贡献，加入答案
5.如果没有有向环，那么做完结束
6.如果有，缩点，并且把连出去的边都减去连出去那个点的入边，因为贡献算过了
7.存储新图，对新图重复所有操作

Code

# include <bits/stdc++.h>
# define IL inline
# define RG register
# define Fill(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn(100005);
const double inf(1e9);

int n, tot, m, cnt, need[maxn], pre[maxn], vis[maxn], id[maxn];
double ans, cost[maxn], prize, inw[maxn];

struct Edge{
    int u, v;
    double w;
} e[maxn];

IL void DirectedMST(){
    RG int num = n, rt = 1, idx;
    while(true){
        // 初始化
        for(RG int i = 1; i <= num; ++i) id[i] = vis[i] = pre[i] = -1, inw[i] = inf;
        // 选入边
        for(RG int i = 1; i <= cnt; ++i)
            if(inw[e[i].v] > e[i].w && e[i].u != e[i].v) inw[e[i].v] = e[i].w, pre[e[i].v] = e[i].u;
        pre[rt] = rt, idx = inw[rt] = 0;
        // 缩环，统计贡献
        for(RG int i = 1; i <= num; ++i){
            ans += inw[i];
            if(vis[i] == -1){
                RG int nw = i;
                while(vis[nw] == -1) vis[nw] = i, nw = pre[nw];
                if(vis[nw] == i && nw != rt){
                    id[nw] = ++idx;
                    for(RG int j = pre[nw]; j != nw; j = pre[j]) id[j] = idx;
                }
            }
        }
        // 没有环结束
        if(!idx) return;
        // 重标号，记录新图
        for(RG int i = 1; i <= num; ++i) if(id[i] == -1) id[i] = ++idx;
        for(RG int i = 1; i <= cnt; ++i)
            e[i].w -= inw[e[i].v], e[i].u = id[e[i].u], e[i].v = id[e[i].v];
        num = idx, rt = id[rt];
    }
}

int main(){
    scanf("%d", &tot), n = 2;
    for(RG int i = 1; i <= tot; ++i){
        scanf("%lf%d", &cost[n], &need[n]);
        if(need[n]) e[++cnt] = (Edge){1, n, cost[n]}, vis[i] = n++;
    }
    --n, scanf("%d", &m);
    for(RG int i = 1, a, b; i <= m; ++i){
        scanf("%d%d%lf", &a, &b, &prize);
        a = vis[a], b = vis[b];
        if(a && b){
            cost[b] = min(cost[b], prize);
            e[++cnt] = (Edge){a, b, prize};
        }
    }
    for(RG int i = 2; i <= n; ++i) ans += (need[i] - 1) * cost[i];
    DirectedMST();
    printf("%.2lf\n", ans);
    return 0;
}