主席树乱讲
主席树乱讲
前置技能
- 线段树：动态开点，标记永久化，基本操作
- 离散化
介绍
主席树即可持久化线段树，也叫作函数式线段树
至于为什么叫做主席树，据说是一个叫HJT的神犇在考场上现场yy出来的
可持久化线段树：
顾名思义就是线段树经过了若干次修改之后，仍然能找到原来某次修改前的线段树的信息的一种数据结构
建立
最暴力的方法就是，每次修改就复制当前的线段树新建下一版本的一棵树，在上面修改
空间复杂度\(O(mnlogn)\)，时间复杂度\(O(mnlogn)\)
这样并不高效，还不如不用
进行优化
- 考虑单点修改
线段树单点修改只会修改一条链，即\(log\)个点，其它的点不变
那么我们为什么不可以把其它不变的点继续利用？
所以我们就可以只新建这条链的点其它的点直接接上去就行了
那么空间复杂度就是\(O(nlogn)\)，时间复杂度\(O(nlogn)\) - 考虑区间修改
如果像单点修改那样，新建改变的节点
那么区间标记不好进行\(pushdown\)
标记永久化，这个常数小，空间小，又快又方便
这个好，加上标记永久化就解决了
记得要用动态开点线段树
单点修改模板题Luogu3919
区间修改模板题SPOJ/Vjudge
用法
不要尝试用整体二分等离线算法水过去强制在线
1. 区间第\(k\)小(大)问题
Luogu静态区间第k小模板题
给定\(N\)个正整数构成的序列，\(M\)组询问，对于指定的闭区间查询其区间内的第\(K\)小值
\(N,M<=2*10^5\)
做法
区间第\(k\)小这一类算是比较套路了
考虑如果查全局第\(k\)小
可以开一棵值域线段树，维护数的个数
把数字离散化之后丢进线段树中去
然后直接在线段树上二分数字
如果\(k\)大于当前点左子树的点的个数，那么\(k\)减去这个个数，去右子树
否则去左子树
这道题的做法：
类似
把数字离散化，主席树为值域线段树，维护数的个数
从第一个数字开始不停的往主席树中加点，每加一个数字，就新建一个版本
那么第\(i\)棵线段树保存的就是前\(i\)个数字
查询区间\([l,r]\)第\(k\)小？
和全局第\(k\)小的做法一致，但是我们要找的只是数组\([l,r]\)中的数
之前说过第\(i\)棵线段树保存的就是前\(i\)个数字
那么运用前缀和的方法，把第\(r\)棵线段树和第\(l-1\)棵线段树作差，得到的就是这个区间内的数，其它的都和全局第\(k\)小没有区别
此时树就像是一个二维平面
横纵坐标分别为树的版本和每一棵树
提一下：如果要做动态的区间第\(k\)小，即带修改，要用到树状数组套线段树来做，思路很相似，就是把数组区间那一维用树状数组来维护
2. 树上路径第\(k\)小(大)
Bzoj2588Count on a tree
一棵\(N\)个节点的树，每个点有一个权值，对于\(M\)个询问\((u,v,k)\)，你需要回答\(u\)和\(v\)这两个节点间第\(K\)小的点权
\(N,M<=100000\)
做法
主席树还是为值域线段树，维护数的个数
每个点的线段树版本由它的父亲加入它的点权得到
那么每个点的线段树存的就是它到根的所有点的点权
还是树上二分数字，还是线段树作差：
假设\(u, v\)的LCA为\(x\)，用\(rt[i]\)表示\(i\)这个点的线段树
那么就是这样作差
\(rt[u]+rt[v]-rt[x]-rt[fa[x]]\)
这样就只包含了\(u,v\)路径上所有的点了
3. 区间中位数
HDU4251
给定\(N\)个正整数构成的序列\(A\)，将对于指定的闭区间查询其区间内的中位数的值
\(N,M<=100000,A[i] \in [1, 10^9]\)
做法
\(emmm...\)
这不就是区间第长度除以\(2\)小吗？
4. 区间不重复的数的个数
SPOJ3267
给定\(N\)个正整数构成的序列\(A\)，\(Q\)组询问，于指定的闭区间查询其区间内的不同的数的个数
\(N,Q<=30000,A[i]\in[1, 10^6]\)
做法
不是权值线段树
维护位置
如果插入一个数时发现之前有过了
那么修改当前的，那个位置\(−1\)
然后插入这个数字，在相应的位置\(+1\)
询问\([l,r]\)就是第\(r\)棵线段树中\([l,r]\)的区间和
5. 区间前\(k\)小(大)的和
好像没有找到题诶。。。
给定\(N\)个正整数构成的序列，将对于指定的闭区间查询其区间内前\(k\)小的数的和
\(N,M<=100000\)
做法
先求第\(k\)小，答案就是它和它子树的点的值的和
也就是主席树再存下每个点离散化的值，维护值的和就好了
一些其它的就不列举了
主要是没什么了，而且其它的基本上方法差不多
