斐波拉契数列的性质

证明用到辗转相除相减法

定理一

• \(gcd(f[i],f[i+1])=1\)
  证明：\(gcd(f[i], f[i+1]) = gcd(f[i+1]-f[i], f[i])=gcd(f[i-1], f[i])\)
  递归下去，所以\(gcd(f[i], f[i+1]) = gcd(f[1], f[2]) = 1\)

定理二

• \(f[m+n]=f[m−1]f[n]+f[m]f[n+1]\)
  证明：\(f[m+n] = f[m+n-1]+f[m+n-2]=f[m+n-2]+f[m+n-3]+f[m+n-3]+f[m+n-4]\)
  \(=f[m+n-2]+2*f[n+m-3]+f[n+m-4]=3*f[n+m-3]+2*f[n+m-4]=......\)
  找找规律就得到了\(f[m+n]=f[m−1]f[n]+f[m]f[n+1]\)不会正规证明

定理三

• \(gcd(f[n+m],f[n])=gcd(f[n],f[m])\)
  证明：\(gcd(f[n+m], f[n])=gcd(f[m-1]f[n]+f[m]f[n+1], f[n])\)
  \(=gcd(f[m]f[n+1], f[n])=gcd(f[n+1],f[n])*gcd(f[m], f[n])=gcd(f[m], f[n])\)

定理四

• \(gcd(f[n],f[n+m])=f[gcd(n,n+m)]\)
  证明：\(gcd(f[n], f[n+m])=gcd(f[n], f[m])\)
  即:\(gcd(f[n], f[m+n]\%f[n])=gcd(f[n], f[(m+n)\%n])\)
  这是辗转相除法的形式
  最后肯定有\(gcd(f[n],f[n+m])=f[gcd(n,n+m)]\)