线性筛,积性函数,狄利克雷卷积,常见积性函数的筛法

一些性质

• 积性函数：对于函数\(f(n)\)，若满足对任意互质的数字\(a,b，a*b=n\)且\(f(n)=f(a)f(b)\)，那么称函数f为积性函数。
• 狄利克雷卷积：对于函数f,g,定义它们的卷积为
  \((f∗g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})\)。
  狄利克雷卷积满足很多性质：
  交换律：\(f∗g=g∗f\)
  结合律：\((f∗g)∗h=f∗(g∗h)\)
• 两个积性函数的狄利克雷卷积仍为积性函数。
• 积性函数都可以用线性筛筛出来

怎么筛？
\(一般来讲，只要知道f(P^k)，P为质数，就可以知道怎么筛了\)
\(简单来讲就是推一下\)
\(通俗来讲就是手玩一下或者打表找规律\)
如果你一眼就看出来了那就只能Orz了

几道题

Bzoj4804: 欧拉心算
BZOJ2693jzptab
BZOJ4407 :于神之怒加强版

一些常见积性函数的筛法

莫比乌斯函数\(\mu(n)\)

这个比较简单，\(\mu(1)=1\)，\(i\)为质数时\(\mu(i)=-1\)，最小质因子筛到它的时候正负号反过来，否则为\(0\)

	isprime[1] = 1; mu[1] = 1;
	for(int i = 2; i < N; ++i){
		if(!isprime[i]){  prime[++num] = i; mu[i] = -1;  }
		for(int j = 1; j <= num && i * prime[j] < N; ++j){
			isprime[i * prime[j]] = 1;
			if(i % prime[j]) mu[i * prime[j]] = -mu[i];
			else{  mu[i * prime[j]] = 0; break;  }
		}
	}

乘法逆元\(inv(i)\)

求一个数在模p意义下的逆元
设\(p=i*x+j\)，则\(i*x+j\equiv0(mod\ p)\)
同时除以\(i*j，所以x*j^{-1}+i^{-1}\equiv0(mod\ p)\)
移项\(i^{-1}\equiv-x*j^{-1}(mod\ p)\)
而\(x=p\ div\ i，j=p\ mod\ i\)
所以\(inv(i)=-inv(p\%i)*(p/i)\)
不用筛了，递推就可以了

inv[1] = 1; for(int i = 2; i < p; ++i) inv[i] = -(p / i) * inv[p % i] % p + p) % p;

补充阶乘逆元的递推，求出\(inv(n)\)，\(inv(i)=inv(i+1)*(i+1)\)倒着来就行了

fac[0] = inv[0] = 1;
for(int i = 1; i <= n; ++i) fac[i] = fac[i] * i % p;
inv[n] = Getinv(fac[n]); //Exgcd or Fermat
for(int i = 1; i < n; i++) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % p;

欧拉函数\(\varphi(n)\)

公式:
\(n分解成若干质数p的乘积n=\Pi p_i^{a_i}\)
\(\varphi(n)=n*\Pi(1-\frac{1}{p_i})\)

那么\(\varphi(1)=1\)，\(n为质数时\varphi(n)=n-1\)，最小质因子筛到它时乘上质因子\(p-1\)，否则乘上这个质数

isprime[1] = 1; phi[1] = 1;
	for(int i = 2; i < N; ++i){
		if(!isprime[i]){  prime[++num] = i; phi[i] = i - 1;  }
		for(int j = 1; j <= num && i * prime[j] < N; ++j){
			isprime[i * prime[j]] = 1;
			if(i % prime[j]) phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
			else{  phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j]; break;  }
		}
	}

约数个数\(d(n)\)

公式：
还是分解
\(d(n)=\Pi(a_i + 1)\)

我们记录下每个数最小质因子的指数记为\(pred\)就好了

isprime[1] = 1; d[1] = 1;
for(int i = 2; i < N; ++i){
	if(!isprime[i]){  prime[++num] = i; d[i] = 2; pred[i] = 1;  }
	for(int j = 1; j <= num && i * prime[j] < N; ++j){
		isprime[i * prime[j]] = 1;
		if(i % prime[j]){
			d[i * prime[j]] = d[i] * d[prime[j]];
			pred[i * prime[j]] = 1;
		}
		else{
			pred[i * prime[j]] = pred[i] + 1;
			d[i * prime[j]] = d[i] / (pred[i] + 1) * (pred[i] + 2);
			break; 
		}
	}
}

约数的和\(\sigma(n)\)

公式：
又是分解
\(\sigma(n)=\Pi(\sum_{j=0}^{a_i}p_i^j)\)

这个就很烦了。。。

也可以筛，开两个个数组，一个\(powd\)记录每个数最小质因子的指数次幂，另一个\(sumd\)记录每个数最小质因子\(\sum_{i=0}^{a}p^i\)就可以了

我们把这个鬼里鬼气的\(\sigma写成f\)

isprime[1] = 1; f[1] = mu[1] = 1;
for(int i = 2; i < N; ++i){
	if(!isprime[i]){
		prime[++num] = i; f[i] = i + 1; mu[i] = -1;
		sumd[i] = 1 + i; powd[i] = i;
	}
	for(int j = 1; j <= num && i * prime[j] < N; ++j){
		isprime[i * prime[j]] = 1;
		if(i % prime[j]){
			sumd[i * prime[j]] = 1 + prime[j];
			powd[i * prime[j]] = prime[j];
			f[i * prime[j]] = f[i] * f[prime[j]];
		}
		else{
			powd[i * prime[j]] = powd[i] * prime[j];
			sumd[i * prime[j]] = sumd[i] + powd[i * prime[j]];
			f[i * prime[j]] = f[i] / sumd[i] * sumd[i * prime[j]];
			break;
		}
	}
}

完结