BZOJ3168: [Heoi2013]钙铁锌硒维生素

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题意
给定一个满秩的矩阵 \(A\) ，另一个矩阵 \(B\)
对于 \(A\) 的每个行向量 \(A_i\) 找到一个匹配 \(B\) 的行向量 \(B_{p_i}\)
使得 \(A_i\) 替换成 \(B_{p_i}\) 后的矩阵 \(A'\) 仍然满秩
Sol
如果 \(B_{p_i}\) 能替换 \(A_i\)，那么说明存在一个向量 \(\lambda\) 使得 \(\lambda \times A'=B_{p_i}\)
而 \(A\) 线性无关，只要 \(A\) 的元素表示 \(B_{p_i}\) 的线性组合中 \(A_i\) 的系数不为 \(0\) 就好了
所以只要求出系数矩阵 \(C\)，使得 \(C\times A=B\)
然后对于不为 \(0\) 的 \(C_{i,j}\)，将 \(j\) 向 \(i\) 连边，求这个二分图的字典序最小的完备匹配就好了
求 \(C\) 可以矩阵求逆实现，\(C=B\times A^{-1}\)
求二分图的字典序最小的完备匹配，可以先跑一遍匈牙利算法
然后在这个基础上再跑一次增广，贪心的匹配最小的，只改变匹配比当前点大的匹配边

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int mod(10007);

int a[305][605], b[305][305], d[305][305], c[305][305];
int idx, n, ans, match[305], chos[305], cnt, vis[305];

inline int Pow(int x, int y) {
	register int ret = 1;
	for (; y; y >>= 1, x = x * x % mod)
		if (y & 1) ret = ret * x % mod;
	return ret;
}

inline void GetInv() {
	register int i, j, k, inv, m = n + n;
	for (i = 1; i <= n; ++i) a[i][i + n] = 1;
	for (i = 1; i <= n; ++i) {
		for (j = i; j <= n; ++j)
			if (a[j][i]) {
				if (i != j) swap(a[i], a[j]);
				break;
			}
		inv = Pow(a[i][i], mod - 2);
		for (j = i; j <= m; ++j) a[i][j] = a[i][j] * inv % mod;
		for (j = 1; j <= n; ++j)
			if (i != j)
				for (inv = a[j][i], k = i; k <= m; ++k) a[j][k] = (a[j][k] - a[i][k] * inv % mod + mod) % mod;
	}
	for (i = 1; i <= n; ++i)
		for (j = 1; j <= n; ++j) d[i][j] = a[i][j + n];
}

inline void GetEdge() {
	register int i, j, k;
	for (i = 1; i <= n; ++i)
		for (j = 1; j <= n; ++j)
			for (k = 1; k <= n; ++k)
				(c[i][k] += b[i][j] * d[j][k] % mod) %= mod;
}

int Dfs(int u) {
	register int v;
	for (v = 1; v <= n; ++v)
		if (c[v][u] && vis[v] != idx) {
			vis[v] = idx;
			if (!match[v] || Dfs(match[v])) return chos[u] = v, match[v] = u, 1;
		}
	return 0;
}

int Change(int u, int rt) {
	register int v;
	for (v = 1; v <= n; ++v)
		if (c[v][u] && vis[v] != idx) {
			vis[v] = idx;
			if (!match[v] || (match[v] > rt && Change(match[v], rt))) return chos[u] = v, match[v] = u, 1;
		}
	return 0;
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	register int i, j;
	for (i = 1; i <= n; ++i)
		for (j = 1; j <= n; ++j) scanf("%d", &a[i][j]);
	for (i = 1; i <= n; ++i)
		for (j = 1; j <= n; ++j) scanf("%d", &b[i][j]);
	GetInv(), GetEdge();
	for (i = 1; i <= n; ++i) ++idx, ans += Dfs(i);
	if (ans != n) return puts("NIE"), 0;
	puts("TAK");
	for (i = 1; i <= n; ++i) ++idx, match[chos[i]] = 0, chos[i] = 0, Change(i, i);
	for (i = 1; i <= n; ++i) printf("%d\n", chos[i]);
	return 0;
}