欧拉函数&欧拉定理&降幂 总结

欧拉函数&欧拉定理&降幂 总结

标签：数学方法——数论
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这年头不总结一下是真的容易忘，老了老了，要AFO了。。。

欧拉函数

介绍

欧拉函数写做\(\varphi[x]\)，表示\(0\)到\(x\)中与\(x\)互质的数的个数
那么我们会有引理（对于素数\(p\)）：

\[\left\{ \begin{aligned} \varphi[p]=p-1\ --------------①\\ \varphi[i*p]=p*\varphi[i]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (i\bmod p==0)---②\\ \varphi[i*p]=(p-1)*\varphi[i]\ \ \ \ \ (i\bmod p\ne0)---③ \end{aligned} \right.\]

据说还有一个总的公式：\(\varphi[n]=n*\prod(1-\dfrac{1}{a_i})\) (\(a_i\)是\(n\)的质因子)

怎么求

线性筛所有欧拉函数

我们可以用线性筛素数的方法同时把欧拉函数筛出来（根据上面的引理）
不会线性筛素数？那你把这个板子背了就会了。。。笑哭.\(jpg\)
（去掉和\(phi\)数组有关的就是线性筛素数了）
背板子吧，其实也容易理解

void Prepare_Phi()
{
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=M;++i)
	{
		if(!phi[i])pri[++tot]=i,phi[i]=i-1;//①
		for(int j=1;j<=tot;++j)
		{
			if(i*pri[j]>M)break;
			if(!(i%pri[j]))
			{
				phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];//②
				break;
			}else phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);//③
		}
	}
}

根号求单个欧拉函数

il lst euler(rg lst x)
{  
    rg lst ans=x,tp=sqrt(x);  
    for(lst i=2;i<=tp;++i)  
        if(x%i==0)  
        {  
            ans=ans-ans/i;  
            while(x%i==0)x/=i;   
        }  
    if(x>1)ans=ans-ans/x;  
    return ans;  
} 

欧拉定理

有了欧拉函数做坚实的后盾
讲欧拉定理就不用扯那些七里八里的东西了
一个公式：当\(a,n\)互质时$$
a^{\varphi(n)}\equiv1(\bmod\ n)

\[不知道怎么用对吧，那这样： 如果$a,n$互质，那么有 $\ a^{\varphi(n)}\%n==1$ 也就是 $ a^{\varphi(n)}$ 与 $n$ 互质 **最有用的**？ $a^b\equiv a^{b\%\varphi(n)}(\bmod\ n)$ PS：结合后面的扩展欧拉定理可以用作**降幂**，后面讲 ## 扩展欧拉定理 嗯，一般扩展不就是把互质推广到所有情况嘛 行，如果上面那个式子里面$a,n$不互质了 $$a^b\equiv \left\{ \begin{aligned} a^b (\bmod\ n)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b<\varphi(n)\\ a^{b\%\varphi(n)+varphi(n)}(\bmod\ n)\ \ b\geq\varphi(n) \end{aligned} \right.\]

降幂(应用草鸡广的)

根据上面两个定理的公式结合起来

\[a^b\equiv \left\{ \begin{aligned} a^{b\%\varphi(n)}(\bmod\ n)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n,a互质\\ a^b (\bmod\ n)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b<\varphi(n)\\ a^{b\%\varphi(n)+\varphi(n)}(\bmod\ n)\ \ \ \ \ \ \ \ b\geq\varphi(n) \end{aligned} \right.$$~~其实我们完全可以不用用到第一个~~ 思考一下 是不是对于一个问题求$a^b (\bmod\ n)$ 可以直接根据右边的条件把式子转换成上面三个中的一个 $yep$降幂成功 给个例题吧：[洛谷P4139 上帝与集合的正确用法](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4139) 代码你要吗？~~不要我也给你，虽然丑~~ ``` #include<bits/stdc++.h> #define lst long long #define ldb double #define N 10000050 #define M 10000000 using namespace std; const int Inf=1e9; int read() { int s=0,m=0;char ch=getchar(); while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')m=1;ch=getchar();} while( isdigit(ch))s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48),ch=getchar(); return m?-s:s; } int Q,tot; int phi[N],pri[N]; void Prepare_Phi() { phi[1]=1; for(int i=2;i<=M;++i) { if(!phi[i])pri[++tot]=i,phi[i]=i-1;//① for(int j=1;j<=tot;++j) { if(i*pri[j]>M)break; if(!(i%pri[j])) { phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];//② break; }else phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);//③ } } } lst qpow(lst x,lst y,lst mod) { lst ret=1; while(y) { if(y&1)ret=ret*x%mod; x=x*x%mod,y>>=1; }return ret; } lst Solve(lst mod) { if(mod==1)return 0; return qpow(2,Solve(phi[mod])+phi[mod],mod); } int main() { Prepare_Phi(); Q=read(); while(Q--) { int p=read(); printf("%lld\n",Solve(p)); } return 0; } ``` 那，讲完了啊。。。你以为能讲多少。。。 ~~毕竟我是个菜鸡嘛~~\]