中国剩余定理(CRT) & 扩展中国剩余定理(ExCRT)总结

中国剩余定理(CRT) & 扩展中国剩余定理(ExCRT)总结

标签：数学方法——数论
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前置浅讲

前置知识点：\(Exgcd\)
这两个东西都是用来解同余方程组的
形如

\[\left\{ \begin{aligned} x\equiv B_1(mod\ W_1)\\ x\equiv B_2(mod\ W_2)\\ \cdots\\ x\equiv B_n(mod\ W_n)\\ \end{aligned} \right. $$给定$B_i$和$W_i$，求解唯一解$x$满足上述方程组 PS：**个人认为自己的$ExCRT$讲得好一些** ## 中国剩余定理(CRT) 心理准备：这里我觉得自己讲得不是很清晰，有点说不清的感觉 在上述方程中，存在一种特殊情况，即$W_i$全部互质 ~~有什么用呢，用处就是可以用中国剩余定理（孙子定理）~~</a> 首先，古人告诉我们： 解上面那个方程相当于对于每一个$B_i$： > 把$B_i$变成$1$，其他的$B$变成$0$的解$x$ 然后答案就是$\sum(x*B_i)$ 也就是解每一个形如下面的方程组的解$x$在乘上$B_i$： \]

\left{
\begin{aligned}
x\equiv 0(mod\ W_1)\
x\equiv 0(mod\ W_2)\
\cdots\
x\equiv 1(mod\ W_i)\
\cdots\
x\equiv 0(mod\ W_n)\
\end{aligned}
\right.

\[ ~~别问我为什么，我不知道~~ 那么考虑怎么求呢？ 记$M$为$\prod W_i$ 显然解$x$必须是$M/W_i$的倍数 那么方程变为 \]

(M/W_i)y\equiv 1(\mod W_i)

\[$Exgcd$求解即可，再加进答案 ``` lst CRT() { lst tot=1,Ans=0; for(int i=1;i<=n;++i)tot*=W[i]; for(int i=1;i<=n;++i) { lst now=tot/W[i],x,y; Exgcd(now,W[i],x,y);//不需要我讲吧！ x=(x%W[i]+W[i])%W[i];//这个取膜貌似很关键诶 Ans=(Ans+Mult(Mult(x,now,tot),B[i],tot)+tot)%tot;//Mult是快速乘 }return Ans>=0?Ans:Ans+tot; } ``` ## 扩展中国剩余定理(ExCRT) 再把方程组放一遍： \]

\left{
\begin{aligned}
x\equiv B_1(mod\ W_1)\
x\equiv B_2(mod\ W_2)\
\cdots\
x\equiv B_n(mod\ W_n)\
\end{aligned}
\right.

\[这个时候我们的$W_i$不互质了 那么我们考虑对所有的方程一个一个求解 假设我们求解到了第$i$个方程 前面的方程组解出来答案是$Ans$ 那我们是不是可以把之前求解的答案看做一个这样的同余方程： \]

x\equiv Ans(\mod M)

\[其中$M$是前$i-1$个$W$的最小公倍数，$x$使我们想得到的新解 如果看不出请补一下同余方程。。。 很显然这些都是已知量了吧 那我们为了求出前$i$个方程的解就相当于要解出下面这个方程组了对不对 \]

\left{
\begin{aligned}
x\equiv Ans(\mod M) \
x\equiv B_i(\mod W_i)\
\end{aligned}
\right.

\[用$A_1$表示Ans，$B_1$表示M，$A_2$表示$B_i$，$B_2$表示$W_i$，$Ans$表示新答案 可以化为 \]

Ans=B_1x1+A_1=B_2x2+A_2

\[\]

\therefore B_1x1-B_2x2=A_2-A_1

\[为了使用扩展欧几里德我们设 \]

B_1x-B_2y=Gcd(B_1,B_2)

\[那么我们会解出一个$x'$，而真正的$x1$如下 $$x1=x'×\dfrac{A_2-A_1}{GCD(B_1,B_2)}$$我们再回代就得到了新解$Ans$\]

Ans=B_1x1+A_1

\[有点凌乱请认真看(trust me)！ 模板题：[洛谷P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4777) 代码： ``` #include<bits/stdc++.h> #define lst long long #define ldb double #define N 100050 using namespace std; const int Inf=1e9; lst read() { lst s=0,m=0;char ch=getchar(); while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')m=1;ch=getchar();} while( isdigit(ch))s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48),ch=getchar(); return m?-s:s; } lst n,Ans,x,y,M; lst A[N],B[N]; lst qmul(lst x,lst y,lst p) { lst ret=0; while(y) { if(y&1)ret=(ret+x)%p; x=(x+x)%p;y>>=1; }return ret; } lst Exgcd(lst a,lst b,lst &x,lst &y) { if(!b){x=1,y=0;return a;} lst ss=Exgcd(b,a%b,x,y),t; t=x,x=y,y=t-(a/b)*y; return ss; } int main() { n=read(); for(int i=1;i<=n;++i) B[i]=read(),A[i]=read(); Ans=A[1],M=B[1]; //根据上面的详解一步对应一行 for(int i=2;i<=n;++i) { lst Get=((A[i]-Ans)%B[i]+B[i])%B[i]; lst GCD=Exgcd(M,B[i],x,y); x=qmul(x,Get/GCD,B[i]);//qmul是龟速乘 Ans+=M*x; M*=B[i]/GCD;//这里是更新辅助下一次计算 Ans=(Ans+M)%M; }printf("%lld\n",Ans); return 0; } ```\]