摘要：
"Link" 设$f_n$表示$n$个点的不同构的二叉树个数，$g_n$表示$n$个点的不同构的二叉树的叶节点数之和。 可以得到$g_n=nf_{n 1}$。 证：每棵$n 1$个点的二叉树有$n$个位置可以挂上一个叶节点进而得到$n$个点的二叉树。 我们知道$f_n=C_n=\frac{2n\ch 阅读全文
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"Link" 设$f$的生成函数为$P(x)$（下文简记为$P$），那么我们可以得到$P=AxP+BF^2+Kx$。 解方程得到$P=\frac{1 Ax\pm\sqrt{A^2x^2 (2A+4KB)x+1}}{2B}$，不妨令根号前的符号为负号，因此有$I_1:P=\frac{1 Ax \sqr 阅读全文
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"Link" 看到全是度数相关的计数就可以考虑Prüfer序列。 一个点的度数就是其在Prüfer序列中的出现次数$+1$，而一个Prüfer序列的贡献就是其所有元素出现次数$+1$的乘积，我们可以把乘积拆开dp。 设$f_{x,i}$表示考虑前$x$个点，Prüfer序列长度为$i$的答案之和。 阅读全文
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#组合数 \({n\choose m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\) ###Some Identities 当二项式定理中的$a+b$为常量，$a$为变量时可以求高阶导得出一些有趣的恒等式。 \({n\choose m}={n\choose n-m}\) \({n\choose k}= 阅读全文
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BEST定理 对于有向Euler图$G=(V,E)$，$G$的欧拉回路个数$\operatorname{ec}(G)=t_w(G)\prod\limits_{u\in V}(deg_u 1)!$。 其中$deg_u$表示$u$的入度/出度，$t_w(G)$表示以$w$为根的外向树个数（事实上在Eul 阅读全文
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"Link" 显然重合$k$次的边集构成一条树上路径，记为$Path$。 设$f_u$表示在$u$的子树中选择$k$个点，并且这$k$个点在$u$的不同子树中的方案数。 记$P_u(x)=\prod\limits_{v\in son_u}(1+size_vx)$，那么有$f_u=\sum\limit 阅读全文
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"Link" 可以发现不走其实就是走自环，所以我们给每张图的每个点添加一个自环。 对于第$i$张图，设其邻接矩阵为$\mathbf A_i$，那么在第$i$张图上走$k$步回到原点的方案数就是$\operatorname{tr}(\mathbf A_i^k)$。 设$g_{l,r,k}=\prod\ 阅读全文