Gaussian整数

\(\mathbb Z[i]=\{x+iy|x,y\in\mathbb Z\}\)
很显然\(\mathbb Z[i]\)对复数加法、乘法构成一个唯一分解整环。

带余除法

给定\(a,b\)，求\(p,q\)使得\(a=bp+q\wedge \operatorname{norm}(q)\le\frac{\operatorname{norm}}2\)。

若\(x+iy=\frac ab\)，则\(p=(n,m)\)满足\(n\in[x-\frac12,x+\frac12),m\in[y-\frac12,y+\frac12)\)。

素性

考虑\(z=x+iy\)的素性。

\(1.\)若\(xy=0\)，则\(z\in\mathbb P[i]\Leftrightarrow\operatorname{norm}(z)|\in\mathbb P\wedge\operatorname{norm}(z)\not\equiv1\pmod4\)。
\(2.\)若\(xy\ne0\)，则\(z\in\mathbb P[i]\Leftrightarrow\operatorname{norm}(z)\in\mathbb P\)。

质因数分解

\(z\in\mathbb Z[i]\)有唯一分解\(z=i^E(1+i)^{e_0}\prod p_i^{e_i}(E\in[0,4))\)。
（一般我们钦定\(p_i\equiv1\pmod{2+2i}\)或者\(2|\Im(p_i)\)，实际上这是小问题）

考虑直接对\(\operatorname{norm}(z)\)分解质因数，对于\(p^e\|\operatorname{norm}(z)\):
\(1.\)若\(p=2\)，则\((1+i)^e\|z\)。
\(2.\)若\(p\equiv3\pmod4\)，我们知道\(4k+3\)不是完全平方数，也不可能拆成两个完全平方数的和，因此此时一定有\(2|e\)，即\(p^{\frac e2}\|z\)。
\(3.\)若\(p\equiv1\pmod4\)，找到\(q\)使得\(q^2\equiv-1\pmod p\)，则\(p|\operatorname{norm}(q+i)\wedge p|\operatorname{norm}(p)\)，因此\(\operatorname{norm}(\gcd(q+i,p))=p\)，即\(\gcd(q+i,p)^e\|z\)。
最后调整使得\(p_i\)满足形式的限制，再求出\(E\)即可。