Problem. S

题意简述：

给定复数\(z=\sum\limits_{i=1}^nz_i(z_i\in\mathbb Z[i])\)，求\(\mathbb K[\mathbb Z[i]]\)上的使得\(f(z)=0\)的多项式\(f(z)\)的最低次数，答案对\(998244353\)取模。

数据范围：

\(n\le100,|z_i|\le10^9\)

解法：

设\(p(x)\)为\(z\)在\(\mathbb Z\)上的极小多项式，那么\(\deg p=[\mathbb Z(a):\mathbb Z]\)。
若\(a_i\)两两互质，则显然有\([\mathbb Z(\sqrt a_1,\cdots,\sqrt a_n):\mathbb Z]=2^n\)。
若\(p^2|a_i\)，那么\(p|\sqrt a_i\wedge p\in\mathbb Z\)，因此我们可以将\(a_i\)的因子中所有的\(p^2\)去掉，这并不会影响答案。
对于每个\(a_i\)构造一个向量\(\mathbf b_i\)，满足\(\mathbf b_{i,j}=p_j|a_i\)。
设\(\mathbb F_2\)下\(\operatorname{span}(\mathbf b_1,\cdots,\mathbf b_n)=m\)，那么\([\mathbb Z(\sqrt a_1,\cdots,\sqrt a_n):\mathbb Z]=2^m\)。
记\(a=\sum\limits_{i=1}^na_i\)，又因为\(p(a)=p(\overline a)=0\)，所以我们有\([\mathbb Z(a):\mathbb Z]=[\mathbb Z(\sqrt a_1,\cdots,\sqrt a_n):\mathbb Z]=2^m\)。
我们知道\(\mathbb Z[i]\)上是有唯一分解定理的，因此可以套用\(\mathbb Z\)上的做法。
总的时间复杂度为\(O(\frac{n^3\log|z|}{\omega}+n\sqrt{|z|})\)。