UOJ443 【集训队作业2018】不可名状

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设\(n=65536,x=\omega_n^k\)。
下面是利用倒推法得到的大致过程：
\(\text{FWT}\)得到\(a_i=1\)，\(\text{CU}\)得到\(a_i=x^i\)，\(\text{IDFT}\)得到\(a_i=[i=k]\)，\(\text{QR}\)得到答案。

\(\text{FWT}\)

\(\text{FWT}\)的过程是从小到大对\(i\in [0,16)\)做\(\text{CR(}i,i,M\text{)}\)，其中\(M=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\)。
为了保证\(M\)是酉矩阵，令\(M=\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt 2}&\frac1{\sqrt 2}\\\frac1{\sqrt 2}&-\frac1{\sqrt 2}\end{pmatrix}\)即可。

\(\text{IDFT}\)

首先是\(\text{reverse}\)，或者说用\(\overline{\omega_n^i}\)替代\(\omega_n^i\)。如果我们忽视该操作，那么最后调用\(\text{QR}\)返回的就是\(n-k\)，并不会影响我们求出答案。当然直接用\(\overline{\omega_n^i}\)做也不会有问题。

然后是\(\text{bitreverse}\)，只需将\(\text{CU(}i,2^i\text{)}\)改成\(\text{CU(}i,2^{15-i}\text{)}\)即可。

接着是\(\text{DFT}\)过程，从小到大枚举\(i\in [0,16)\)，然后先对所有满足\(2^i\subseteq S\)进行\(a_S=a_S\omega_{2^{i+1}}^S\)操作，再调用\(\text{CR(}i,i,M\text{)}\)。
第一个操作可以对\(j\in[0,i)\)做\(\text{CR(}i,j,N\text{)}\)，其中\(N=\begin{pmatrix}1&0\\0&\omega_{2^{i+1}}^{2^j}\end{pmatrix}\)。

最后是每个位置除以\(n\)，忽略该操作不会造成影响。

Tips

在\(\text{FWT}\)和\(\text{IDFT}\)中，我们使用的\(M\)矩阵相对于正确的\(M\)矩阵是乘上了一个\(\frac1{\sqrt2}\)的系数。
这样正好可以达成IDFT最后一步的效果。

#include<cmath>
#include<numeric>
#include"unnamable.h"
using cp=std::complex<double>;
const int N=65536;const double pi=acos(-1),s2=sqrt(0.5);
cp omega(int k){return cp(cos(2*pi*k/N),sin(2*pi*k/N));}
cp FWT[2][2]={{s2,s2},{s2,-s2}},FFT[2][2]={{1,0},{0,0}};
cp SOL(int t)
{
    INI(16);
    for(int i=0;i<16;++i) CR(i,i,FWT);
    for(int i=0;i<16;++i) CU(i,1<<(15-i));
    for(int i=0;i<16;CR(i,i,FWT),++i) for(int j=0;j<i;++j) FFT[1][1]=omega(1<<(15-i+j)),CR(i,j,FFT);
    return omega(-QR());
}