Luogu P5824 十二重计数法（小球盒子计数）
假如有\(n\)个球，要放进\(m\)个盒子，求方案数。
\(\text{I}\)：球之间互不相同，盒子之间互不相同。
显然答案为\(m^n\)。
\(\text{II}\)：球之间互不相同，盒子之间互不相同，每个盒子至多装一个球。
依次把球放进盒子，放第\(i\)个球时有\(m-i+1\)种方案，因此答案为\(m^{\underline n}\)。
\(\text{III}\)：球之间互不相同，盒子之间互不相同，每个盒子至少装一个球。
相当于把\(n\)个数划分为\(m\)个有序集合，因此答案为\(\left\{n\atop m\right\}m!\)。
\(\text{IV}\)：球之间互不相同，盒子全部相同。
枚举有多少个盒子放了球，然后方案数就是将\(n\)个数划分为若干个无序集合，因此答案为\(\sum\limits_{i=1}^m\left\{n\atop i\right\}\)。
\(\text{V}\)：球之间互不相同，盒子全部相同，每个盒子至多装一个球。
显然答案为\([n\le m]\)。
\(\text{VI}\)：球之间互不相同，盒子全部相同，每个盒子至少装一个球。
显然答案为\(\left\{n\atop m\right\}\)。
\(\text{VII}\)：球全部相同，盒子之间互不相同。
每个盒子装任意个球都只有一种方案，OGF为\(\frac1{1-x}\)，因此答案为\([x^n]\frac1{(1-x)^m}={n+m-1\choose n}\)。
\(\text{VIII}\)：球全部相同，盒子之间互不相同，每个盒子至多装一个球。
显然答案为\({m\choose n}\)。
\(\text{IX}\)：球全部相同，盒子之间互不相同，每个盒子至少装一个球。
此时每个盒子装球的OGF为\(\frac x{1-x}\)，因此答案为\([x^n]\frac{x^m}{(1-x)^m}={n-1\choose m-1}\)。
\(\text{X}\)：球全部相同，盒子全部相同。
相当于将\(n\)划分为\(m\)个无序自然数的和，答案为\(p(n+m,m)=[x^n]\prod\limits_{i=1}^m\frac1{1-x^i}\)。
\(\text{XI}\)：球全部相同，盒子全部相同，每个盒子至多装一个球。
显然答案为\([n\le m]\)。
\(\text{XII}\)：球全部相同，盒子全部相同，每个盒子至少装一个球。
相当于将\(n\)划分为\(m\)个无序正整数的和，答案为\(p(n,m)=[x^{n-m}]\prod\limits_{i=1}^m\frac1{1-x^i}\)。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<numeric>
#include<algorithm>
const int N=524289,P=998244353;
int n,m,deg,len,fac[N],inv[N],ifac[N],rev[N],w[N],S[N],p[N];
int inc(int a,int b){return a+=b-P,a+=a>>31&P;}
int dec(int a,int b){return a-=b,a+=a>>31&P;}
int mul(int a,int b){return 1ll*a*b%P;}
int pow(int a,int k){int r=1;for(;k;k>>=1,a=mul(a,a))if(k&1)r=mul(a,r);return r;}
int C(int n,int m){return m<0||m>n? 0:mul(mul(fac[n],ifac[m]),ifac[n-m]);}
int getlen(int n){return 1<<(32-__builtin_clz(n));}
void init(int n)
{
int lim=1<<(len=32-__builtin_clz(n)),g=pow(3,(P-1)/lim);
w[lim>>1]=1,fac[0]=ifac[0]=inv[0]=fac[1]=ifac[1]=inv[1]=1;
for(int i=1;i<lim;++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1? lim>>1:0);
for(int i=(lim>>1)+1;i<lim;++i) w[i]=mul(w[i-1],g);
for(int i=(lim>>1)-1;i;--i) w[i]=w[i<<1];
for(int i=2;i<=lim;++i) fac[i]=mul(fac[i-1],i),ifac[i]=mul(ifac[i-1],inv[i]=mul(inv[P%i],P-P/i));
}
void NTT(int*a,int lim,int f)
{
if(!~f) std::reverse(a+1,a+lim);
for(int i=0,x=len-__builtin_ctz(lim);i<lim;++i) if(i<rev[i]>>x) std::swap(a[i],a[rev[i]>>x]);
for(int i=1;i<lim;i<<=1) for(int j=0,d=i<<1;j<lim;j+=d) for(int k=0,x;k<i;++k) x=mul(a[i+j+k],w[i+k]),a[i+j+k]=dec(a[j+k],x),a[j+k]=inc(a[j+k],x);
if(!~f) for(int i=0,x=P-(P-1)/lim;i<lim;++i) a[i]=mul(a[i],x);
}
void Inv(int*a,int*b,int deg)
{
if(deg==1) return b[0]=pow(a[0],P-2),void();
static int t[N];int lim=getlen(deg*2-2);
Inv(a,b,(deg+1)>>1),memcpy(t,a,deg<<2),memset(t+deg,0,(lim-deg)<<2);
NTT(t,lim,1),NTT(b,lim,1);
for(int i=0;i<lim;++i) b[i]=mul(dec(2,mul(b[i],t[i])),b[i]);
NTT(b,lim,-1),memset(b+deg,0,(lim-deg)<<2);
}
void Der(int*a,int*b,int deg){for(int i=1;i<deg;++i)b[i-1]=mul(a[i],i);b[deg-1]=0;}
void Int(int*a,int*b,int deg){for(int i=1;i<deg;++i)b[i]=mul(a[i-1],inv[i]);b[0]=0;}
void Ln(int*a,int*b,int deg)
{
static int t[N];int lim=getlen(deg*2-2);
Inv(a,t,deg),Der(a,b,deg),NTT(t,lim,1),NTT(b,lim,1);
for(int i=0;i<lim;++i) t[i]=mul(t[i],b[i]);
NTT(t,lim,-1),Int(t,b,deg),memset(t,0,lim<<2),memset(b+deg,0,(lim-deg)<<2);
}
void Exp(int*a,int*b,int deg)
{
if(deg==1) return b[0]=1,void();
static int t[N];int lim=getlen(deg*2-2);
Exp(a,b,(deg+1)>>1),Ln(b,t,deg);
for(int i=0;i<deg;++i) t[i]=dec(a[i],t[i]);
memset(t+deg,0,(lim-deg)<<2),++t[0],NTT(t,lim,1),NTT(b,lim,1);
for(int i=0;i<lim;++i) b[i]=mul(b[i],t[i]);
NTT(b,lim,-1),memset(b+deg,0,(lim-deg)<<2),memset(t+deg,0,(lim-deg)<<2);
}
void calcS()
{
static int F[N],G[N],lim=1<<len,deg=std::min(n,m)+1;
for(int i=0;i<deg;++i) F[i]=mul(pow(i,n),ifac[i]),G[i]=i&1? P-ifac[i]:ifac[i];
NTT(F,lim,1),NTT(G,lim,1);
for(int i=0;i<lim;++i) S[i]=mul(F[i],G[i]);
NTT(S,lim,-1),memset(S+deg,0,(lim-deg)*4);
}
void calcp()
{
static int F[N];
for(int i=1;i<=m;++i) for(int j=i;j<=n;j+=i) F[j]=inc(F[j],inv[j/i]);
Exp(F,p,n+1);
}
int main()
{
scanf("%d%d\n",&n,&m);
init(2*std::max(n,m)),calcS(),calcp();
printf("%d\n",pow(m,n));
printf("%d\n",mul(C(m,n),fac[n]));
printf("%d\n",mul(S[m],fac[m]));
printf("%d\n",std::accumulate(S+1,S+m+1,0,inc));
printf("%d\n",n<=m);
printf("%d\n",S[m]);
printf("%d\n",C(m+n-1,n));
printf("%d\n",C(m,n));
printf("%d\n",C(n-1,m-1));
printf("%d\n",p[n]);
printf("%d\n",n<=m);
printf("%d\n",n<m? 0:p[n-m]);
}
