Problem. E

命题：

\(\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\sum\limits_{k=0}^n\frac{n!}{(n-k)!n^k}}{\sqrt{2\pi n}}=1\)

证明：

先进行简单的恒等变换：
\(\mathrm{LHS}=\frac{\sum\limits_{k=0}^n\frac{n!}{k!n^{n-k}}}{\sqrt{2\pi n}}\)
然后利用Stirling公式拆开\(n!\)：
\(\mathrm{LHS}=\frac{\sum\limits_{k=0}^n\frac{\sqrt{2\pi n}(\frac ne)^n}{k!n^{n-k}}}{\sqrt{2\pi n}}\)
进行一些整理：
\(\mathrm{LHS}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{n^k}{k!e^n}\)
不难发现这是\(e^n\)的Maclaurin展开的形式，因此：
\(\mathrm{LHS}=1=\mathrm{RHS}\)
命题得证。