Problem. B

题意简述：

有一堆标号为\(1,\cdots,n\)的牌，初始有序。
现在我们进行\(m\)次如下的操作：在\(n\)张牌中任选一张抽出然后放回堆顶。
求最后牌堆依旧有序的概率，答案对\(1000000007\)取模。

数据范围：

\(n\le5*10^6\)

解法：

首先总方案数数是\(n^m\)。
先将牌标号为\(1,\cdots,n\)，考虑合法抽牌序列（第\(i\)个元素为第\(i\)次抽出的牌的标号）应该满足什么条件。
显然对于相同标号的牌，只有最后一次在序列中的出现才会对它的位置有影响。
序列的最后一位必须是\(1\)，然后我们把序列中的所有的\(1\)删掉。
然后序列中的最后一位就必须是\(2\)，然后我们把序列中的所有的\(2\)删掉。
......
到此我们可以总结出合法抽牌序列的充要条件：
\(1.\)若序列中出现了\(k\)个不同的数，那么这\(k\)个不同的数一定是\(1,\cdots,k\)。
\(2.\)序列中\(i\)的最后一次出现位置之后的数必须\(<i\)。
\(3.\)序列中最多出现\(n\)个不同的数。
满足这两个限制的抽牌序列一定是合法的，有任何一个条件不满足的抽牌序列一定不合法。
然后把相同的数的出现位置合并成一个集合，不同的数的出现位置集合之间是无序的，这样一个合法的抽牌序列就会对应\(\{1,\cdots,m\}\)的一组划分（划分后不能超过\(n\)个集合）。
而这样的一组划分也一定会对应恰好一组合法的抽牌序列。即每次找到最大的数所在的集合，这个集合就是当前最小的未出现的数的位置集合。
因此合法的抽牌序列的个数是\(\sum\limits_{i=0}^n\left\{m\atop i\right\}\)。

Extend

把操作改为：把堆顶的牌抽出，在剩下的\(n\)个空位中任选一个插回去。
答案不变。
因为修改后的操作相当于修改前的操作的逆，我们把修改前的一个操作序列倒过来就是一个修改后的操作序列，这显然是一一对应的。