一些有趣的数

组合数

\({n\choose m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)

Some Identities

当二项式定理中的\(a+b\)为常量，\(a\)为变量时可以求高阶导得出一些有趣的恒等式。
\({n\choose m}={n\choose n-m}\)
\({n\choose k}=\frac kn{n-1\choose k-1}\)
\({n\choose k}={n-1\choose k-1}+{n\choose k-1}\)
\({n\choose m}{m\choose k}={n\choose k}{n-k\choose m-k}\)
\(\sum\limits_{i=0}^k{n\choose i}{m\choose k-i}={n+m\choose k}\)
\(\sum\limits_{i=0}^n{i\choose k}={n+1\choose k+1}\)
\(\sum\limits_{i=1}^m{m\choose i}{n\choose i}={n+m\choose m}\)
\(\sum\limits_{i=0}^n{n-i\choose i}=F_{n+1}\)
\(\sum\limits_{i=0}^m{n+i\choose i}={n+m+1\choose m}\)
\(\sum\limits_{i=0}^n{m\choose i}{m-i\choose n-i}=2^n{m\choose n}\)

Fibonacci数

定义：\(F_0=0,F_1=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\)

Properties

\(F_n=\frac{(\frac{1+\sqrt5}2)^n-(\frac{1-\sqrt5}2)^n}{\sqrt5}\)
\(\sum\limits_{i=1}^nF_i=F_{n+2}-1\)
\(\sum\limits_{i=1}^nF_{2i-1}=F_{2n}\)
\(\sum\limits_{i=1}^nF_{2i}=F_{2n+1}-1\)
\(\sum\limits_{i=1}^nF_i^2=F_nF_{n+1}\)
\(F_n^2-F_{n+k}F_{n-k}=(-1)^{n-k}F_k^2\)
\(F_{kn+c}=\sum\limits_{i=0}^k{k\choose i}F_{c-i}F_n^iF_{n+1}^{k-i}\)
\(F_{n+m}=F_{n+1}F_m+F_nF_{m-1}\)
OGF：\(\sum\limits_{n=0}^{+\infty}F_nx^n=\frac x{1-x-x^2}\)
\(F_{p}\equiv(\frac p5)\pmod p,F_{p-(\frac p5)}\equiv 0\pmod p\)

Stirling数

第一类Stirling数

有符号第一类Stirling数

定义：\(x^{\underline n}=\sum\limits_{k=0}^n s(n,k)x^k\)

无符号第一类Stirling数

定义：\(\left[n\atop k\right]\)是把\(n\)个元素的集合分为\(k\)个圆排列的方案数。
另一个定义：\(\left[n\atop k\right]=|s(n,k)|\)
另一个定义：\(x^{\overline n}=\sum\limits_{k=0}^n\left[n\atop k\right]x^k\)

\(\left[n\atop k\right]\)又记做\(c(n,k)\)。
以后我们说的第一类Stirling数都指无符号第一类Stirling数。

Properties

\(s(n,k)=(-1)^{n-k}\left[n\atop k\right]\)
递推公式：\(\left[{0\atop 0}\right]=1,\left[{n\atop 0}\right]=\left[{0\atop n}\right]=0,\left[n\atop k\right]=(n-1)\left[n-1\atop k\right]+\left[n-1\atop k-1\right]\)
\(\left[n\atop n-k\right]=\sum\limits_{0\le i_1<\cdots<i_k<n}\prod\limits_{j=1}^ki_j\)
\((n+m)!=\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^mm^{\overline{n-i}}{n\choose i}\left[m\atop j\right]i!\)
\(\sum\limits_{k=0}^n\left[n\atop k\right]=n!\)
\(\sum\limits_{k=m}^n\left[n\atop k\right]{k\choose m}=\left[n+1\atop k+1\right]\)
固定\(k\)的EFG：\(\sum\limits_{n=k}^{+\infty}(-1)^{n-k}\left[n\atop k\right]\frac{x^n}{n!}=\frac{(\ln (x+1))^k}{k!}\)
\(\sum\limits_{n=k}^{+\infty}\left[n\atop k\right]\frac{x^n}{n!}=\frac{(\ln\frac{1}{1-x})^k}{k!}\)

第二类Stirling数

定义：\(\left\{n\atop k\right\}\)是把\(n\)个元素的集合划分成\(k\)个非空集合的方案数。

Properties

递推公式：\(\left\{0\atop0\right\}=1,\left\{n\atop0\right\}=\left\{0\atop n\right\}=0,\left\{n\atop k\right\}=k\left\{n-1\atop k\right\}+\left\{n-1\atop k-1\right\}\)
\(\left\{n\atop k\right\}=\frac1{k!}\sum\limits_{i=0}^k(-1)^i{k\choose i}(k-i)^n\)
\(x^n=\sum\limits_{k=0}^n\left\{n\atop k\right\}x^{\underline k}\)
\(\left\{n+1\atop k+1\right\}=\sum\limits_{i=k}^n{n\choose i}\left\{i\atop k\right\}\)
\(\left\{n\atop k\right\}\equiv{n-\lceil\frac{k+1}2\rceil\choose \lfloor\frac{k-1}2\rfloor}\pmod2\)
\(\left\{n\atop k\right\}=\frac{k^n}{k!}-\sum\limits_{i=1}^{k-1}\frac{\left\{n\atop i\right\}}{(k-i)!}\)
固定\(k\)的OGF：\(\sum\limits_{n=k}^{+\infty}\left\{n\atop k\right\}x^n=x^k\prod\limits_{i=1}^k\frac1{1-ix}\)
固定\(k\)的EGF：\(\sum\limits_{n=k}^{+\infty}\left\{n\atop k\right\}\frac{x^n}{n!}=\frac{((\exp x)-1)^k}{k!}\)

Catalan数

定义：\(C_0=0,C_{n+1}=\sum\limits_{i=0}^nC_iC_{n-i}\)。

properties

通项公式：\(C_n={2n\choose n}-{2n\choose n+1}=\frac{2n\choose n}{n+1}\)。
递推公式：\(C_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}C_n\)。
\(C_n\sim \frac{4^n}{\sqrt\pi n^{1.5}}\)
\(2\nmid C_n\rightarrow n=2^k-1\)

Hankel矩阵

\(\mathbf A_{n*n}:\mathbf A_{i,j}=C_{i+j-2}\)满足\(\det(\mathbf A)=1\)。
同时\(\mathbf A_{n*n}:\mathbf A_{i,j}=C_{i+j-1}\)满足\(\det(\mathbf A)=1\)。
这两种情形合在一起唯一定义了Catalan数

Applications

\(C_n\)是长度为\(2n\)的合法括号序列的个数。
\(C_n\)是\(n\)个节点的二叉树的个数。
\(C_n\)是\(2n+1\)个节点构成的满二叉树的个数。
\(C_n\)是\(n+1\)个叶子节点的二叉树的个数。
\(C_n\)是可以任意加括号的\(n+1\)个元素的不同运算顺序的个数。（或者说分离\(n+1\)个组分的混合物的可能分离序列的个数）
\(C_n\)是从\((0,0)\)走到\((n,n)\)不越过\(y=x\)的方案数。
\(C_n\)是把凸\(n+2\)边形分割成三角形的方案数。
\(C_n\)是\(1,\cdots,n\)按顺序入栈，可任意出栈的出栈排列的个数。
\(C_n\)是长度为\(n\)的LIS长度\(\le2\)的排列的个数。
\(C_n\)是\(\{1,\cdots,n\}\)划分为若干个不交叉集合的方案数。
\(C_n\)是用\(n\)个长方形填充一个高度为\(n\)的阶梯的方案数。
\(C_n\)是凸\(2n\)边形的不交顶点配对的方案数。（指把配对的点连线，所有的线两两不交）

Bernoulli数

定义：\(\sum\limits_{i=0}^n{n+1\choose i}B_i=[n=0]\)。
另一个定义：\(B_n=\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^i(-1)^j{i\choose j}\frac{j^n}{i+1}\)

properties

\(2\nmid n\wedge n\ne1\rightarrow B_n=0\)
EGF：\(\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{B_n}{n!}x^n=\frac{x}{(\exp x)-1}\)
\(\sum\limits_{i=1}^ni^m=\frac1{m+1}\sum\limits_{i=0}^m(-1)^i{m+1\choose i}B_in^{m+1-i}\)

Bell数

定义：\(B_n\)是\(n\)个元素的集合的划分数。

Properties

递推公式：\(B_0=1,B_{n+1}=\sum\limits_{i=0}^n{n\choose i}B_i\)
EGF：\(\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{B_n}{n!}x^n=\exp((\exp x)-1)\)
\(B_n=\sum\limits_{i=0}^n\left\{n\atop i\right\}\)
\(B_{n+m}=\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^m{n\choose i}\left\{m\atop j\right\}j^{n-i}B_i\)
\(B_{p^m+n}\equiv mB_n+B_{n+1}\pmod p\)

拆分数

定义：\(p(n,m)\)是将\(n\)拆为\(m\)个无序正整数的和的方案数。
有时简记\(p(n)=\sum\limits_{i=1}^np(n,m)\)。

Properties

\(p(n,m)=[x^{n-m}]\prod\limits_{i=1}^m\frac1{1-x^i}\)

Eulerian数

定义：\(\left\langle n\atop m\right\rangle\)为\(1,\cdots,n\)的排列，有\(m\)个数比它前一个数大的方案数。

Properties

递推公式：\(\left\langle 1\atop 0\right\rangle=1,\left\langle n\atop m\right\rangle=(n-m)\left\langle n-1\atop m-1\right\rangle+(m+1)\left\langle n-1\atop m\right\rangle\)
通项公式：\(\left\langle n\atop m\right\rangle=\sum\limits_{k=0}^m(-1)^k{n+1\choose k}(m+1-k)^n\)
固定\(n\)的OGF（又叫Eulerian多项式）：\(A_0(x)=1,A_n(x)=\sum\limits_{m=0}^n\left\langle n\atop m\right\rangle x^m=\sum\limits_{k=0}^{n-1}{n\choose k}A_k(x)(x-1)^{n-1-k}\)
Eulerian多项式的EGF：\(\sum\limits_{n=0}^{+\infty}A_n(t)\frac{x^n}{n!}=\frac{t-1}{t-\exp((t-1)x)}\)
\(\sum\limits_{m=0}^{n-1}\left\langle n\atop m\right\rangle=n!\)
\(\sum\limits_{m=0}^{n-1}(-1)^m\left\langle n\atop m\right\rangle=\frac {2^{n+1}(2^{n+1}-1)B_{n+1}}{n+1}\)（这里的\(B_n\)是Bernoulli数）
\(\sum\limits_{m=0}^{n-1}(-1)^m\frac{\left\langle n\atop m\right\rangle}{n-1\choose m}=0\)
\(\sum\limits_{m=0}^{n-1}(-1)^m\frac{\left\langle n\atop m\right\rangle}{n\choose m}=(n+1)B_n\)
\(\sum\limits_{k=0}^{+\infty}k^nx^k=\frac{xA_n(x)}{(1-x)^{n+1}}\)
\(x^n=\sum\limits_{m=0}^{n-1}\left\langle n\atop m\right\rangle{x+m\choose n}\)
\(\frac e{1-ex}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{A_n(x)}{n!(1-x)^{n+1}}\)

Lah数

无符号Lah数：\(x^{\overline n}=\sum\limits_{k=1}^nL(n,k)x^{\underline k}\)
有符号Lah数：\(x^{\underline n}=\sum\limits_{k=1}^nL'(n,k)x^{\overline k}\)

Properties

通项公式：\(L(n,k)={n-1\choose k-1}\frac{n!}{k!}\)
通项公式：\(L'(n,k)=(-1)^nL(n,k)\)
递推公式：\(L(0,0)=1,L(n,0)=L(0,n)=0,L(n,k)=(n+k-1)L(n-1,k)+L(n-1,k-1)\)
\(L(n,k)=\sum\limits_{i=0}^n\left[n\atop i\right]\left\{i\atop k\right\}\)
EGF：
\(\sum\limits_{n=k}^{+\infty}L(n,k)\frac{x^n}{n!}=\frac1{k!}(\frac x{1-x})^k\)

Applications

\(L(n,k)\)是把\(n\)个元素的集合划分为\(k\)个排列的方案数。

Narayana数

定义：\(N(n,k)=\frac1n{n\choose k}{n\choose k-1}\)

Properties

\(C_n=\sum\limits_{i=1}^nN(n,i)\)

Applications

\(N(n,k)\)是将\(\{1,\cdots,n\}\)划分为\(k\)个互不交叉集合的方案数。
\(N(n,k)\)是\(n\)对括号形成\(k\)个嵌套结构的方案数。
\(N(n,k)\)是从\((0,0)\)走到\((2n,0)\)，只能向右上/右下走，不能越过\(x=0\)，路径有\(k\)个波峰的方案数。

Motzkin数

定义：\(M_n\)是在圆上\(n\)个点之间连接不交弦的方案数。

Properties

递推公式：\(M_0=1,M_n=M_{n-1}+\sum\limits_{i=0}^{n-2}M_iM_{n-2-i}=\frac{2n+1}{n+2}M_{n-1}+\frac{3n-3}{n+2}M_{n-2}\)
\(M_n=\sum\limits_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}{n\choose2k}C_k\)

Applications

\(M_n\)是从\((0,0)\)走到\((n,0)\)，只能向右上/正右/右下走，并且不能越过\(x=0\)的方案数。

Delannoy数

定义：\(D(m,n)\)是从\((0,0)\)走到\((m,n)\)，只能向正右/正上/右上走的方案数。

Properties

递推公式：\(D(m,0)=D(0,n)=0,D(m,n)=D(m-1,n)+D(m-1,n-1)+D(m,n-1)\)
\(D(m,n)=\sum\limits_{k=0}^{\min(m,n)}{m+n-k\choose m}{m\choose k}\)
\(D(m,n)=\sum\limits_{k=0}^{\min(m,n)}{m\choose k}{n\choose k}2^k\)

Schröder数

定义：\(S_n\)是从\((0,0)\)走到\((n,n)\)，只能向正上/正右/右上走，不能越过\(y=x\)的方案数。

Properties

\(S_0=1,S_n=S_{n-1}+\sum\limits_{k=0}^{n-1}S_kS_{n-k-1}\)
令\(\mathbf A:\mathbf A_{i,j}=S_{i+j-1}\)，则\(\det(\mathbf A_{n,n})=2^{\frac{n(n+1)}2}\)。

Applications

\(S_n\)为在\(n*n\)的矩形中选定\(n\)个点和\(n\)条水平/竖直的线段，满足每条线段恰好经过一个点且每个点恰好只被一条线段经过且线段直接不出现十字交叉，这\(n\)条线段把矩形划分成\(n+1\)个小矩形的方案数。

Hipparchus数

\(S(n)\)是从\((0,0)\)走到\((n,n)\)，只能向正上/正右/右上走，不能沿着\(y=x\)走的方案数。

Properties

\(S(0)=S_0,\forall n\in\mathbb N_{+},S(n)=\frac{S_n}2\)
\(S(n)=\frac{(6n-9)S(n-1)+(n-3)S(n-2)}n\)

Applications

\(S(n)\)是\(n+2\)边形的任意剖分数。
\(S(n)\)是在\(n+1\)个元素的序列中添加括号，满足每对括号中元素个数加上整对括号数\(\ge2\)，且没有包含整个序列的括号的方案数。
\(S(n)\)是\(n+1\)个点形成的满足每个非叶节点都有至少两个儿子的有根平面树的个数。

Fubini数

\(a(n)\)是\(n\)个元素的弱偏序的个数（即可以有元素之间的偏序关系未确定）。

Properties

\(a(n)=\sum\limits_{k=0}^n\left\{n\atop k\right\}k!\)
\(a(n)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}2^k\left\langle n\atop k\right\rangle\)
\(a(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}{n\choose i}a(n-i)\)

Applications

\(a(n)\)是具有\(n+1\)个有序叶子节点的，满足每个叶子节点的深度相等，深度为\(i\)的点数严格小于\(i+1\)的点数的有根树的个数。
对于上述的树，记相邻的两个叶子节点的间隔的排名为这两个叶子节点的lca的高度，那么这些间隔以排名为关键字对应一个弱偏序。