TopCoder SRM 667 Cats On The Circle

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首先给出一个模型：赌徒输光问题。
赌徒输光问题就是一个带吸收壁的随机游走问题，设\(f(a,b,p)\)表示初始位置为\(a\)，向右走的概率为\(p\)，向左走的概率为\(1-p\)，在没到过\(0\)的情况下到\(a+b\)的概率。
设\(g_i=f(i,a+b-i,p)\)，显然有\(g_0=0,g_{a+b}=1,g_i=pg_{i+1}+(1-p)g_{i-1}\)。
推一推可以得到\(g_{i+1}-g_i=\frac{1-p}p(g_i-g_{i-1})\)，那么\(g_n=g_1\frac{1-(\frac{1-p}p)^n}{1-\frac{1-p}p}\)。
代入\(g_{a+b}=1\)即可解出\(g_1\)，这样我们就解决了计算\(f\)的问题。
那么原问题的答案就可以通过枚举是从左边还是右边传到\(k\)得出计算式\(f(n-k-1,k-1,p)f(1,n-2,1-p)+f(k-1,n-k-1,1-p)f(1,n-2,p)\)。

#include<bits/stdc++.h>
typedef long double ld;
class CatsOnTheCircle
{
    ld f(int a,int b,ld p)
    {
	if(fabs(p-0.5)<1e-8) return 1.0*a/(a+b);
	if(p<0.5+1e-8) return 1-f(b,a,1-p);
	return (1-powl((1-p)/p,a))/(1-powl((1-p)/p,a+b));
    }
public:
    double getProb(int n,int k,int p)
    {
	ld q=p/1000000000.0;
	return f(n-k-1,k-1,q)*f(1,n-2,1-q)+f(k-1,n-k-1,1-q)*f(1,n-2,q);
    }
};