计数-Rook

记\(x^{\underline{n,m}}=\prod\limits_{i=0}^{n-1}(x-im),\lfloor n\rfloor_m\)为\(\le n\)的最大的\(m\)的倍数。

\(\text{Some Definition}\)

Rook多项式

给定棋盘\(B\)，在\(B\)上放\(k\)个Rook并使任意两个Rook不同行、不同列的方案数记为\(r_k(B)\)，构造Rook多项式\(R(B)=\sum\limits r_i(B)x^i\)。
用\(B_{(i)}\)表示去掉\(i\)所在行和列之后的剩余部分，用\(B_{[i]}\)表示去掉\(i\)之后的剩余部分。
那么显然有\(r_k(B)=r_{k-1}(B_{(i)})+r_k(B_{[i]})\)，即\(R(B)=xR(B_{(i)})+R(B_{[i]})\)。
然后我们有两个很显然的结论：
交换棋盘的任意两行/列不会产生影响。
两个行列相互不交的棋盘相互独立。

分级棋盘

给定一个\(m\in\mathbb {N_+}\)，将\(B\)划分，第\(i\)级包含\([(i-1)m+1,im]\)行。
现在我们要在这个棋盘上放Rook，满足所有Rook在不同级、不同列。
在\(m\)级棋盘\(B\)上放\(k\)个Rook的方案数记为\(r_{m,k}(B)\)。

Ferrers棋盘

若棋盘\(B=(b_1,\cdots,b_n)\)满足\(b_i\le b_{i+1}\)，则称\(B\)为Ferrers棋盘。

独立棋盘

若棋盘\(B=(b_1,\cdots,b_n)\)满足在每个\(((i-1)m,m)\)中最多有一个\(b_i\)，则称\(B\)为独立棋盘。

上升棋盘

定义一个棋盘\(m\)-上升当且仅当\(b_i\ge b_{i-1}+m\)。

区

定义一个棋盘\(B=(b_1,\cdots,b_n)\)的一个区\(z\)为满足\(\forall k\in(i,j],\lfloor b_k\rfloor_m=\lfloor b_i\rfloor_m\)的极大子段\((b_i,\cdots,b_j)\)。

余

给定\(z=(b_i,\cdots,b_j)\)，定义它的余为\(\rho(z)=\sum\limits_{k=i}^j(b_k-\lfloor b_k\rfloor_m)\)。

等价棋盘

定义两个棋盘\(B,B'\)等价当且仅当\(\forall k\ge0,r_k(B)=r_k(B')\)。
定义两个棋盘\(B,B'm\)-等价当且仅当\(\forall k\ge0,r_{m,k}(B)=r_{m,k}(B')\)。
记做\(B\equiv B'\)。

Rook向量

定义棋盘\(B=(b_1,\cdots,b_n)\)的Rook向量为\(\zeta(B)=(0,\cdots,n-1)-(b_1,\cdots,b_n)\)。
可以得到\(B\equiv B'\Leftrightarrow\zeta(B)\)是\(\zeta(B')\)的重排。（如果两个棋盘列数不等，那么就在列数少的那一个棋盘的前面补\(b_i=0\)的列）

\(\text{Some Theorems}\)

Goldman-Joichi-White定理

给定Ferrers棋盘\(B=(b_1,\cdots,b_n)\)，那么有\(\sum\limits_{k=0}^nr_k(B)x^{\underline{n-k}}=\prod\limits_{i=1}^n(x+b_i-i+1)\)。

Foata-Schützenberger定理

任意一个Ferrers都与某个\(1\)-上升棋盘等价。

Briggs-Remme定理

给定独立棋盘\(B=(b_1,\cdots,b_n)\)，那么有\(\sum\limits_{k=0}^nr_{m,k}(B)x^{\underline{n-k,m}}=\prod\limits_{i=1}^n(x+b_j-(i-1)m)\)。

Barrese-Loehr-Remmel-S定理

给定Ferrers棋盘\(B=(b_1,\cdots,b_n)\)，那么有\(\sum\limits_{k=0}^nr_{m,k}(B)x^{\underline{n-k,m}}=\prod\limits_{i=1}^n(x+\lfloor b_i\rfloor_m-(i-1)m+\epsilon_i)\)。
其中\(\epsilon_i=[\text{bi is the last column in zone z}]\rho(z)\)。
任意一个Ferrers棋盘都与某个\(m\)-上升棋盘等价。