基础抽象代数

\(\text{Some Definitions}\)

阶

一个群\(G\)的阶是指其势，即其元素的个数。记做\(\operatorname{ord}(G)\)或\(|G|\)。
一个元素\(a\)的阶（或称周期）是指使得\(a^m=e\)的最小正整数\(m\)，记做\(\operatorname{ord}(a)\)或\(|a|\)。
若\(m\)不存在，则称\(\operatorname{ord}(a)=\infty\)。有限群的所有元素都有有限阶。

子群

群\(<G,\cdot>\)中，若\(H\subseteq G\)且\(<H,\cdot>\)构成群，则称\(H\)是\(G\)的子群。
任意群\(G\)都有子群\(\{e\},G\)，其他子群称为真子群。

生成子群

对于\(G\)的子集\(M\)，所有包含\(M\)的子群的交也是一个子群，称为\(M\)的生成子群，记做\(\left<M\right>\)。\(M\)称为\(\left<M\right>\)的生成集。
显然\(\forall a\in G,\operatorname{ord}(a)=\operatorname{ord}(\left<a\right>)\)。

陪集

若\(H\)是\(G\)的子群，\(\forall a\in G\)，称\(aH=\{ah|h\in H\}\)为子群\(H\)的一个左陪集，\(Ha=\{ha|h\in H\}\)为子群\(H\)的一个右陪集。
设\(G\)中\(H\)的左陪集，右陪集组成的集合分别为\(S_L,S_R\)，可以证明映射\(f:Ha\mapsto a^{-1}H\)是\(S_R\)到\(S_L\)的双射。

指标

\(G\)的子群\(H\)的不同右陪集个数叫做\(H\)的指标，记做\([G:H]\)。

置换

一个有限集\(X\)到\(X\)的一个双射称为\(X\)的一个置换，不妨设\(X=[n]\)，则置换可以表示成\(\begin{pmatrix}1&\cdots&n\\a_1&\cdots&a_n\end{pmatrix}\)，其中\(a\)是一个排列。
定义置换合成运算：\(\begin{pmatrix}1&\cdots&n\\a_1&\cdots&a_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1&\cdots&a_n\\b_1&\cdots&b_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&\cdots&n\\b_1&\cdots&b_n\end{pmatrix}\)

对称群&置换群

\(n\)个元素的置换有\(n!\)个，易证这\(n!\)个置换对于置换合成构成一个群，称为\(n\)阶对称群，用\(S_n\)表示。
\(X\)上的对称群记做\(\operatorname{Sym}(X)\)。置换群是对称群的一个子群。

循环&对换

\((a_1,\cdots,a_n)=\begin{pmatrix}a_1&\cdots&a_{n-1}&a_n\\a_2&\cdots&a_n&a_1\end{pmatrix}\)叫\(n\)阶循环。
\(2\)阶循环又叫做对换。
很显然每个置换都可以分解成若干循环。定义\(c(g)\)表示\(g\)置换的最少循环数。

奇置换&偶置换

若一个置换能分解为奇数个换位，则称之为奇置换，否则称之为偶置换。

交代群

\(S_n\)中偶置换全体构成一个\(\frac{n!}2\)阶的子群称为交代群，记为\(A_n\)。

轨道

设\(G\)是集合\(X\)上的一个置换群，对于\(x\in X\)，定义\(\operatorname{orb}(x)=\{x^g|g\in G\}\)为\(x\)的轨道，轨道也记做\(G\cdot x\)。
在\(G\)下\(X\)中所有元素形成的轨道等价类数记做\(|X/G|\)。

不动点&稳定子群

若\(G\cdot\alpha=\{\alpha\}\)，那么称\(\alpha\)为\(G\)下的一个不动点。
\(X\)中所有\(G\)下的不动点构成的集合称为不动点集，记做\(X^G\)。在某个置换\(g\)下的不动点集记为\(X^g\)。
置换群\(G\)中不改变元素集\(A=\{a_1,\cdots,a_m\}\)的置换组成的子群称为\(G\)中\(A\)的稳定子群，记做\(G_A\)或\(\operatorname{stab}(A)\)。

\(\text{Some Theorems}\)

Cayley定理

所有群\(G\)同构于\(\operatorname{Sym}(G)\)的一个子群。

定理1

设\(H\)为\(G\)的子群，对任意\(H\)的右陪集\(Ha,Hb\)，则要么\(Ha=Hb\)，要么\(Ha\cap Hb=\varnothing\)。

Lagrange定理

\([G:H]=\frac{\operatorname{ord}(G)}{\operatorname{ord}(H)}\)
因此\(\operatorname{ord}(G)\in\mathbb P\)的群\(G\)没有真子群。

轨道-稳定集定理

\(\operatorname{ord}(G)=\operatorname{ord}(\operatorname{stab}(x))\operatorname{ord}(\operatorname{orb}(x))\)

Burnside引理

\(|X/G|=\frac1{\operatorname{ord}(G)}\sum\limits_{g\in G}|X^g|=\frac1{\operatorname{ord}(G)}\sum\limits_{x\in X}\operatorname{ord}(\operatorname{stab}(x))\)

Pólya定理

用\(m\)种颜色给\(X\)染色，我们有\(|X^g|=m^{c(g)}\)。
由此可以得到总的染色方案数为\(\frac1{\operatorname{ord}(G)}\sum\limits_{g\in G}m^{c(g)}\)。