有向图上不相交路径计数

\(\text{Some Definitions}\)

给定有向图\(G=(V,E)\)。
\(\omega(P)=\prod\limits_{e\in P}w(e)\)
\(e(u,v)=\sum\limits_{P:u\rightarrow v}\omega(P)\)
起点集\(A\)和终点集\(B\)：\(A,B\subseteq V\wedge|A|=|B|=n\)。
一组\(A\rightarrow B\)的不相交路径\(S\)：\(P_i\)是一条\(A_i\rightarrow B_{p_i}\)的路径，其中\(p\)是一个排列，且任意两个\(P_i\)没有公共顶点。
\(\tau(p)=\sum\limits_{i<j}p_i>p_j\)

Lindström–Gessel–Viennot引理

若\(G\)是一个DAG，构造\(\mathbf M_{n*n}:\mathbf M_{i,j}=e(A_i,B_j)\)，则有\(\det(\mathbf M)=\sum\limits_{S:A\rightarrow B}(-1)^{\tau(p)}\prod\limits_{i=1}^n\omega(P_i)\)。