Prüfer序列

Prüfer序列

树\(\Rightarrow\)Prüfer序列

找到一个编号最小的叶子结点，把这个点删掉并且把跟他连着的那个点的编号加入Prüfer序列。

Prüfer序列\(\Rightarrow\)树

令\(S=[1,n]\cap\mathbb Z\)。
找到一个不在Prüfer序列中且在\(S\)中的最小的数，将它与Prüfer序列中的第一个元素连边，并将这个数和Prüfer序列的第一个元素删掉。
最后\(S\)会剩下最后两个元素，把这两个元素连边。

显然Prüfer序列与无根树一一对应。

Cayley定理

\(n\)个点的无标号的无根树的数量为\(n^{n-2}\)。

Generalized Cayley定理

\(n\)个点构成\(m\)棵有标号无根树，且\(1,\cdots,m\)两两所在树不相同，方案数为\(mn^{n-m-1}\)。

Ex Cayley定理

\(n\)个点，点权为\(val_i\)，一条边\((u,v)\)的权值为\(val_uval_v\)，树的权值为\(\prod\limits_{e\in E}val_e=\prod\limits_{i=1}^nval_i^{deg_i}\)，所有无根树的权值和为\((\prod\limits_{i=1}^nval_i)(\sum\limits_{i=1}^nval_i)^{n-2}\)。

Some Properties

\(1.\deg=d\)的点在Prüfer序列中出现\(d-1\)次。

\(2.\)给定度数\(d_1,\cdots,d_n\)的\(n\)个点的有标号无根树的数量为\(\frac{(n-2)!}{\prod\limits_{i=1}^n{(d_i-1)!}}\)。

\(3.n\)个点的给定\(k\)个点的度数\(d_1,\cdots,d_k\)的有标号无根树的数量为\({n-2\choose s}\frac{s!}{\prod\limits_{i=1}^k(d_i-1)!}(n-k)^{n-2-s}\quad(s=\sum\limits_{i=1}^k(d_i-1))\)。