随笔分类 - Math Problems
摘要：##题意简述： 给定非负整数列${a_n}$，求 \(\forall m\in[0,n]\quad f_m=\sum_{i=0}^na_i\sum_{j=0}^n(-1)^j{m\choose j}{n-m\choose i-j}\) 对$998244353$取模。 ###数据范围： \(n\le1
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摘要：##题目描述： 给定一个长度为$n$的环，你需要选$m$个关键点，且不能存在连续的超过$k$个关键点。 只考虑循环同构。答案对$998244353$取模。 ###数据范围： $0\le k\le m\le n\le10^6$ ##解法： 考虑Burnside引理，答案为$\frac1n\sum\li
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摘要：题意简述： 给定复数$z=\sum\limits_{i=1}^nz_i(z_i\in\mathbb Z[i])$，求$\mathbb K[\mathbb Z[i]]$上的使得$f(z)=0$的多项式$f(z)$的最低次数，答案对$998244353$取模。 数据范围： $n\le100,|z_i|\
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摘要：题意简述： 给定多项式$P(x)$，求$Q(x)=(P(x))^n$的前$m$项系数。 数据范围： $m\deg P\le10^7$ 解法： 设$P(x)=\sum\limits_{i=0}^kp_ix^i,Q(x)=\sum\limits_{i=0}^{nk}q_ix^i$。 我们知道$(P^{n
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摘要：题意简述： 给定$c$个正实数$r_i$，你需要在平面直角坐标系上构造$c$个点，满足第$i$个点到原点的距离恰好是$r_i$，且这$c$个点构成的凸包面积最大。 数据范围： $c\le8$。 解法： 先强制一些点在凸包上，然后再枚举它们的圆排列顺序，计算此时的最优解，不难证明这样一定不会优于最优解
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摘要：题意简述： 给定$n,m,u,v$，求$\sum\limits_{\sum\limits_{i=0}^mk_i=n}\prod\limits_{i=0}^m(u+iv)^{k_i}(k_i\in\mathbb N)$，答案对$1000000007$取模。 数据范围： $n\le10^{18},0\l
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摘要：题意简述： 给定素数$P$，有$n$组询问，每次询问给定$A,B,C,D$，要求出最小的$Ax+By$，满足$x,y\in\mathbb N_+$且$P\mid|C^x D^y|$。 数据范围： $n\le10^4,A,B,C,D,P\le10^9$ 解法： 求出$\bmod P$意义下的原根$g$
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摘要：题意简述： 现在有$[1,c]$总共$c$个数，我们要选择$n$个使得任意两个数的异或和不同。 设$k={\lceil\log_2n\rceil}$，保证$n2^k\le c$。 数据范围： $c\le2^{24}$ 解法： 考虑$\operatorname{GF}(2^k)$，我们可以通过打表/爆
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摘要：题意简述： 有一个$m$进制的数系，这个数系中的数没有前导$0$。 对于一个数，假设它的最高位为$x$，如果存在相邻的两位，满足高位为$x$低位为$(x+1)\bmod m$，那么这个数是不合法的。 现在给定$n$，求有多少对$1\le i\le j\le n$满足在这个数系中$i$位数的个数和$j
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摘要：题意简述： 有一个范围为$[n]$的骰子，求第一次扔出$n$时期望扔出过多少偶数。 解法： 令$f_i$为结束时扔出过$i$个偶数的概率，其PGF为$F(x)$。 令$g_i$为扔出$i$个偶数时期望扔的次数，其OGF为$G(x)$。 分析得到： $$ \begin{aligned} F(x)+G(
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摘要：题意简述： 给定一个有$n$个点竞赛图，其中有$m$条点不相交的已经定向的链，求其scc的个数的期望。答案对$998244353$取模。 数据范围： $n\le10^5$ 解法： 竞赛图缩点之后会形成一条每个scc都向后面的scc连边的竞赛图。 先考虑$m=0$的情况。 枚举$T\subseteq[
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摘要：题意简述： 有$n$个正整数$a_i$，先手后手轮流选出一个数，当选出来的所有的数的$\gcd$为$1$时最后一个行动的人失败。 如果两个人都随机选择一个未被选的数，那么先手获胜的概率是多少？ 数据范围： $n\le10^5,a_i\le10^9$ 解法： 设$q_i$表示选了$i$个数后结束游戏的
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摘要：题意简述： 求出长度为$n$的满足$a_1=2,\max(\sqrt[i]{a_i})<\min(\sqrt[i]{a_i+1})$的正整数序列$\{a\}$的个数。 答案对$1000000007$取模。 数据范围： $n\le10^{10}$ 解法： 固定$x=\max(\sqrt[i]{a_i}
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摘要：题意简述： 有一个长度为$n$的序列$\{a\}$，$a_i\in[1,m]\cap\mathbb{N_+}$。 对于$k\in\mathbb{N_+}$和序列$\{a\}$，定义$F_k(a)=\sum\limits_{i=1}^n[\exists p_1<\cdots<p_k<i,s.t.\fo
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摘要：题意简述： 在一个圆内随机放$n$个点，求这$n$个点在同一半圆内的概率。 解法： 首先进行一个转换，题目等价于在圆弧上随机$n$个点，这$n$个点在一个半圆弧上的概率。 对于一种选择$n$个点的方案，我们先强制其中一个点为起点，并且认为这个半圆弧是从这个点开始的沿顺时针走的半圆弧。 我们称这样的方
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摘要：题意简述： 初始时你有$0$元钱和$n$次机会，每次你可以进行两种选择： $1.$退出：拿着现在有的所有钱走人。 $2.$继续：此时有$p$的概率可以获得$1$元钱，有$1 p$的概率失去现在有的所有钱并消耗一次机会。 当剩余机会为$0$的时候游戏强制结束。 求在最大化期望收益的策略下的期望收益，不
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摘要：命题： $\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\sum\limits_{k=0}^n\frac{n!}{(n k)!n^k}}{\sqrt{2\pi n}}=1$ 证明： 先进行简单的恒等变换： $\mathrm{LHS}=\frac{\sum\limits_{k=0}^n
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摘要：题意简述： 求在$n\times m$的棋盘上放若干个炮，使得炮相互不攻击的方案数，答案对$998244353$取模。 数据范围： $1\le n\le m\le10^5$ 解法： 首先我们知道互不攻击等价于每行每列炮的数目$\le2$。 然后考虑进行一个套路的转化：我们给每行每列建一个点，在$(x
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摘要：题意简述： 有$n$个数$a_1,\cdots,a_n$，$a_i\sim B(m,p)$且相互独立。 同时有一个$N$次多项式$f(x)$，给定$f(0),\cdots,f(N)$。 现在需要求出所有满足$0\le b_i\le a_i$的$f(\sum\limits_{i=1}^nb_i)$的和
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摘要：题意简述： 有一堆标号为$1,\cdots,n$的牌，初始有序。 现在我们进行$m$次如下的操作：在$n$张牌中任选一张抽出然后放回堆顶。 求最后牌堆依旧有序的概率，答案对$1000000007$取模。 数据范围： $n\le5 10^6$ 解法： 首先总方案数数是$n^m$。 先将牌标号为$1,\
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