exCRT 浅析

exCRT

处理 CRT 中 $a_i$ 不互质的情况。
一般使用 exCRT 毕竟其又好想又好写。

$$x =b_1 \pmod {a_1} \\ x =b_2 \pmod {a_2} \\ \cdots \\ x=b_n \pmod {a_n}$$

exCRT 的核心在于维护一个同余方程，并将同余方程不断合并。

假设现在合并了前 $i-1$ 个方程，不妨设

$$ans=ans_0+k \cdot m , k \in \Z$$

现在要 $ans'$ 同时满足两个方程

$$ans'=ans_0+k \cdot m\\ ans'=b_i+k_1 \cdot a_i$$

两式相减有

$$k \cdot m -k_1 \cdot a_i=b_i-ans_0$$

这是一个同余方程，假设其解为
$k=y + jp,j \in \Z$
回代 $ans'=ans_0+(y+jp)m=(ans_0+ym)+j \cdot pm$
故 $ans_0'=ans_0+ym,m'=m \cdot p,ans'=ans_0'+k \cdot m'$
发现又回到了原来的形式，合并完成。

这个解系满足 $ans'=(ans_0+ym)+j \cdot pm=ans_0 \pmod m$
同时也满足第 $i$ 个方程 $ans'=ans_0+k \cdot m=b_i+k_1 \cdot a_i$

接下来证明这样不会漏解

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引理 : 两个同余方程在 $lcm(a_1,a_2)$ 内有唯一解。
证明 : 反证法。
假设存在两个不同的解 $0 \le x,y <lcm(a_1,a_2)$
不妨设 $x >y$
则

$$(x-y)=0 \pmod {a_1}\\ (x-y)=0 \pmod {a_2}$$

换句话说

$$a_1 \mid (x-y)\\ a_2 \mid (x-y)$$

则有

$$lcm(a_1,a_2) \mid (x-y)$$

由于 $x-y <lcm(a_1,a_2)$
所以 $x-y=0 ,x=y$ 不符题意。

证毕。

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考虑 $m'=pm$

$$p={a_i \over \gcd(m,a_i) } \\ m'=pm={a_i\over \gcd(m,a_i) }m={ma_i \over \gcd(m,a_i)}=lcm(m,a_i)$$

因此不会漏解。

在写代码时，直接取 $m'=lcm(m,a_i)$ 即可。

P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）
Code：

copy
typedef long long LL;

LL muler(LL x,LL k,LL MOD)
{
	LL res=0; k=(k%MOD+MOD)%MOD; x=(x%MOD+MOD)%MOD; 
	while(k) {
		if(k&1) res=(res+x)%MOD;
		x=(x+x)%MOD; k>>=1;
	}
	return res%MOD;
}

LL exgcd(LL a,LL b,LL& x,LL& y)
{
	if(b==0) {
		x=1; y=0;
		return a;
	}
	LL z=exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
	return z;
}

LL excrt(int n,LL b[],LL a[])
{
	for(int i=1;i<=n;i++) b[i]%=a[i]; // 先把 b[i] mod a[i] 否则 n=1 会错。
	LL m=a[1],ans=b[1]; // 维护方程的解系为 {ans} = ans0 + k*m 
	for(int i=2;i<=n;i++) { // 尝试把第 i 个方程加入解系。 
		LL y,z,d=exgcd(m,a[i],y,z);
		if((b[i]-ans)%d!=0) return -1; // 无法合并同余方程 --> 没有合法解 	
		y=muler(y,(b[i]-ans)/d,a[i]/d); // 同余方程的最小正整数解。 
		
		ans+=y*m;
		m=m/d*a[i]; // m = lcm{a[1]...a[i]} , 不要通过同余方程，这样就很方便，注意先除后乘。 
		ans=(ans%m+m)%m; // 让 ans 为最小正整数。 
	} 
	return ans; 
}

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关于标准形式和一般形式的转化。

$x =b_i \pmod {a_i}$ 是标准形式。
$c_ix=b_i \pmod {a_i}$ 是一般形式。

一般形式不可直接求解，得先 $\to$ 标准。

考虑先分别求解每一个 $c_ix=b_i \pmod {a_i}$ ,由于 $\gcd(c_i,a_i)$ 不一定为 $1$ ，所以 $c_i$ 不一定移得过去。

直接求解 $c_ix+a_ik=b_i$，注意 $x$ 的解集可以写成

$$x=x_0 \pmod {{a_i \over \gcd(a_i,c_i)}}$$

这是标准形式，对新的方程组求解即可。

若单个方程都没有解，那么总的也没有解。