Fibonacci 数列在 OI 中的应用
递推式 \(f_1=f_2=1,f_i=f_{i-1}+f_{i-2} \: (i \ge 3)\)
通项公式：
注意 \({1+\sqrt{5} \over 2} \cdot {1-\sqrt{5} \over 2}=-1\) ，因此列方程的话只要 \(x\) 和 \(- {1 \over x}\)。
通用维护方式：像维护复数一样维护一个数 \(x=a+b\sqrt{5}\)，取模就对 \(a,b\) 分别取模即可。
由于最后结果一定是整数，所以 \([({(1+\sqrt{5}) \over 2})^n-({(1-\sqrt{5}) \over 2})^n]=0+b\sqrt{5}.\)
二次剩余：
若存在 \(5\) 在 \(\bmod \: P\) 下的二次剩余，把 二次剩余 当 \(\sqrt{5}\) 用就可以了。
- \(5\) 在 \(\bmod {10^9+9}\) 意义下有二次剩余为 \(383008016\)。
- \(5\) 在 \(\bmod {10^9+7}\) 意义下没有二次剩余。
找二次剩余的代码（暴力枚举即可，一般 \(P\) 是 \(10^9\) 级别的都能 1 秒内出解）
for(LL i=1;i<P;i++)
if(i*i%P==5) {
cout<<i<<endl;
return 0;
}
性质 1：令 \(s_n=\sum_{i=1}^{n} f_i\)
有性质 \(s_n=f_{n+2}-f_2\)
证明：
数学归纳法。
当 \(k=1\) 时 \(s_1=f_3-f_2=2-1=1\) 成立。
假设当 \(n=k\) 时成立，那 \(n+1\) 时。
性质 2： \(f_{n+m}=f_nf_{m-1}+f_{n+1}f_m=f_nf_{m+1}+f_{n+1}f_m-f_nf_m\)
用途
广义 Fibonacci 数列
\(F_1=b,F_2=a,F_i=F_{i-1}+F_{i-2} \: (i\ge 3)\)
性质 1 ： 有 \(F_n=a \cdot f_{n-1}+b \cdot f_{n-2}.(n \ge 3)\)
证明：数学归纳法。
当 \(k=3\) 时 \(F_3=F_2+F_1=a+b=a \cdot f_{2}+b \cdot f_{1}\) 成立。
假设当 \(n\le k\) 时成立，那 \(n+1\) 时。
得证。
性质 2：与普通 Fibonacci 相同的前缀和性质 \(S_n=\sum_{i=1}^{n} F_i=F_{n+2}-F_2\)
证明：同上。
性质 3 ：用 \(F[b,a]_i\) 表示 \(F_1=b,F_2=a\) 的广义 Fibonacci 数列。
有 \(F[b,a]_i+F[d,c]_i=F[b+d,a+c]_i\)。
证明：数学归纳法。
有什么用
通项公式的用途就很广，因为可以把 Fibonacci 的求和转化为等比数列的求和。 比如：CF718C Sasha and Array
前缀和性质可以用来减小常数和码量，把 \(3\times 3\) 的矩阵变为 \(2\times 2\) ,因为不用额外维护一个前缀和。
\(F[b,a]_i+F[d,c]_i=F[b+d,a+c]_i\) 则可以用来配合数据结构 处理 区间加 Fibonacci 数列，区间求和的问题。
比如 CF446C DZY Loves Fibonacci Numbers
维护懒标记 \(lazytag=(b,a)\)，表示 区间 \((l,r)\) 加上 \(F[a,b]\)。
- 对于一个完整的区间，加上的贡献即为 \(S[a,b]_{r-l+1}\).
- 同时可以快速合并两个tag,\((b,a)+(c,d)=(b+c,a+d)\) 由性质 3.
其实 \(F[b,a]_i+F[d,c]_i=F[b+d,a+c]_i\) 也可以看成 矩阵的加法之类，维护 Fibonacci 数列通常维护 线段树+矩阵 也是可以的。
减小常数和复杂度的方法
同矩阵乘法。
可以预处理出 \(g[i]=C^{2^i},C\) 是转移矩阵，然后用向量去乘。
注意普通的快速幂是以 \(2\) 为底，可以取比较大的底，这样询问更快。
一般取 \(256\) 或 \(65536\) 就可以看做是 \(O(1)\) 的了。
循环节
有引理 ， Fibonacci 数列 在 \(\bmod P\) 意义下循环节 \(\le 6P\)。
斐波那契数在模10,100,1000,1000……下的循环节大小分别为60,300,1500,15000,150000…….并且发现后来的循环节大小每次*10。
来自 Fibonacci Number
这个可以用同余的数尾数相同搞事情。
gcd
列方程
BZOJ5104 Fib 数列：求在 \(\bmod 10^9+9\) 的意义下，数字 \(z\) 在 Fib 数列中出现在哪个位置。
