2-SAT超入门讲解

Preface

说实话2-SAT的题目我都没怎么做过，所以这里讲的都是些超入门什么的

还有一些板子题，由于是暑假的时候学的所以有些我也记不清了

主要学习参考自：Manchery的课件&&dalao's blog&&Another dalao

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What is 2_SAT?

SAT是适定性(Satisfiability)问题的简称 。一般形式为k-适定性问题，简称 k-SAT。

可以证明，当$k>2$时，k-SAT是NP完全的。因此一般讨论的是$k=2$的情况，即2-SAT问题。

我们通俗的说，就是给你$n$个变量$a_i$，每个变量能且只能取$0/1$的值。同时给出若干条件，形式诸如$(not)a_i\operatorname{opt}(not)\ a_j=0/1$，其中$opt$表示$and,or,xor$中的一种

而求解2-SAT的解就是求出满足所有限制的一组$a$

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Change 2-SAT into Graph Theory

首先我们考虑将2-SAT问题往图论的方向靠，我们发现每个点要么取$0$，要么取$1$。因此对于$a_i$，我们建两个点$2i-1$与$2i$分别表示$a_i$取$0$和$1$

然后我们考虑建边来表示这些关系，我们令一条有向边的意义：$x\to y$表示如果选择了$x$就必须选$y$

那么我们可以举一些简单的例子来总结下连边的规律（用$i'$表示$i$的反面）：

• $i,j$不能同时选：选了$i$就要选$j'$，选$j$就要选$i'$。故$i\to j',j\to i'$。一般操作即为$a_i \operatorname{xor} a_j=1$
• $i,j$必须同时选：选了$i$就要选$j$，选$j$就要选$i$。故$i\to j,j\to i$。一般操作即为$a_i \operatorname{xor} a_j=0$
• $i,j$任选（但至少选一个）选一个：选了$i$就要选$j'$，选$j$就要选$i'$，选$i'$就要选$j$，选$j'$就要选$i$。故$i\to j',j\to i',i'\to j,j'\to i$。一般操作即为$a_i \operatorname{or} a_j=1$
• $i$必须选：直接$i'\to i$，可以保证无论怎样都选$i$。一般操作为给出的$a_i=1$或$a_i \operatorname{and} a_j=1$

建好图然后就是考虑怎么用图论的方式解决2-SAT了。

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How to solve 2-SAT——DFS

1. 对于每个当前不确定的变量$a_i$，令$a_i=0$然后沿着边DFS访问相连的点。
2. 检查如果会导致任意一个$j$与$j'$都被选，那么撤销。否则令$a_i=0$
3. 否则令$a_i=1$，重复2。如果还不行就无解。
4. 继续考虑下一个不确定的变量

这样的话正确性显然，由于这里的DFS涉及到全局，因此复杂度是$O(n(n+m))$的。

一般情况下已经很优秀了，而且还可以改进：

只需要在DFS之前判断$i'$能否走到$i$就可以省略撤销标记的过程，所以我们可以bitset优化传递闭包做到$O(\frac{n^3}{w})$预处理，然后就可以$O(n+m)$的DFS了。

这种做法还可以保证解的字典序，有时不失为一种不错的方法。

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How to solve 2-SAT——SCC

考虑我们上面的判断有无解的情况，我们想到完全可以借助SCC来判断两个点是否互相到达。

那么我们先缩点，如果$i$与$i'$在同一SCC里那么显然无解。

否则选择$i$与$i'$中拓扑序较大的一个就可以得到一组可行解。

不是很常用（主要是一般题目的数据范围都不需要），用来判可行性比较好。

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两道例题

• HDU 3062Party 2-SAT建图后判断可行性即可。
• HDU 1814Peaceful Commission 2-SAT建图后求字典序最小解，就用DFS的方法不预处理也可以过。

HDU3062&&HDU1814 sol

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Postscript

这真的是一篇超入门博客，没有涉及特别多的难点以及姿势。

像数据结构优化建图我是肯定不会的啦，最后推荐一道比较有难度的2-SAT好题：Luogu P3825 [NOI2017]游戏&&Sol

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本文作者：hl666
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