Luogu P1477 [NOI2008]假面舞会

一道非常神奇的图论题解法无比新奇清新

我们首先把图分成三种情况：

1. 有环的，此时答案一定是环长的因数（否则不能满足题意）
2. 存在入度大于1的DAG图的
3. 一棵树/一条链

很容易发现，最后一种情况想怎么取就怎么取，那么我们只需要考虑1，2的影响即可

但是如果我们傻乎乎地直接跑好像也是可以的那就太烦了。

我们考虑这样的一个图：

我们把原图中的边分成两类：红色（顺时针）和绿色（逆时针）。然后我们发现这种图对应上面讲的情况2。然后手推颜色发现要两种。

而这个2是怎么来的，很简单，\(color=| total_{red}-total_{green} |\)。为什么，我们仔细观察一下对于每一个被一条顺时针边和一条逆时针边连接的点，与它相连的点颜色一定相同

然后我们就可以把问题转化成无向边并找环了。但是图中的边并没有顺时针/逆时针，于是我们分成正向边/反向边考虑即可。

可以设为相反的边权（如\(1 \&\& -1\)等）。然后取绝对值即可。

然后对于有环的情况（无论时1还是2），我们都可以得出\(ans=gcd(|len|)\)，其中\(len\)表示环长，那么最小值就是\(min(ans|u)\)

值得注意的还有森林的情况，稍加推到此时的\(ans=\sum maxdis-mindis+1 \ (for\ each\ Unicom\ blocks\ of \ the\ gragh)\)

最后当得到的\(ans<3\)时无解。找环当然是BFS/DFS了（注意不要把环和SCC搞混了）

BFS版CODE

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=100005,M=1000005;
struct edge
{
    int to,next,v;
}e[M<<1];
int head[N],dis[N],q[N],n,m,x,y,ans,lans,sum,cnt,MIN,MAX;
bool vis[N];
inline char tc(void)
{
    static char fl[100000],*A=fl,*B=fl;
    return A==B&&(B=(A=fl)+fread(fl,1,100000,stdin),A==B)?EOF:*A++;
}
inline void read(int &x)
{
    x=0; char ch; while (!isdigit(ch=tc()));
    while (x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',isdigit(ch=tc()));
}
inline void double_add(int x,int y)
{
    e[++cnt].to=y; e[cnt].v=1; e[cnt].next=head[x]; head[x]=cnt;
    e[++cnt].to=x; e[cnt].v=-1; e[cnt].next=head[y]; head[y]=cnt;
}
inline int gcd(int n,int m)
{
    return m?gcd(m,n%m):n;
}
inline int min(int a,int b)
{
    return a<b?a:b;
}
inline int max(int a,int b)
{
    return a>b?a:b;
}
inline void BFS(int s)
{
    register int i,H=0,T=1; vis[s]=1; q[1]=s;
    while (H<T)
    {
        int now=q[++H];
        for (i=head[now];~i;i=e[i].next)
        if (vis[e[i].to]) ans=gcd(ans,dis[now]-dis[e[i].to]+e[i].v); else
        {
            dis[e[i].to]=dis[now]+e[i].v; vis[e[i].to]=1; q[++T]=e[i].to;
            MIN=min(MIN,dis[e[i].to]); MAX=max(MAX,dis[e[i].to]);
        }
    }
}
int main()
{
    //freopen("CODE.in","r",stdin); freopen("CODE.out","w",stdout);
    register int i; read(n); read(m);
    memset(head,-1,sizeof(head)); memset(e,-1,sizeof(e));
    for (i=1;i<=m;++i)
    read(x),read(y),double_add(x,y);
    for (i=1;i<=n;++i)
    if (!vis[i])
    {
        MAX=MIN=0; BFS(i);
        sum+=MAX-MIN+1;
    }
    if (ans<0) ans=-ans;
    if (ans)
    {
        if (ans<3) return puts("-1 -1"),0;
        for (lans=3;lans<ans&&ans%lans;++lans);
        return printf("%d %d",ans,lans),0;
    }
    if (sum<3) return puts("-1 -1"),0;
    return printf("%d 3",sum),0;
}

DFS版CODE

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=100005,M=1000005;
struct edge
{
    int to,next,v;
}e[M<<1];
int head[N],dis[N],n,m,x,y,ans,lans,sum,cnt,MIN,MAX;
bool vis[N];
inline char tc(void)
{
    static char fl[100000],*A=fl,*B=fl;
    return A==B&&(B=(A=fl)+fread(fl,1,100000,stdin),A==B)?EOF:*A++;
}
inline void read(int &x)
{
    x=0; char ch; while (!isdigit(ch=tc()));
    while (x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',isdigit(ch=tc()));
}
inline void double_add(int x,int y)
{
    e[++cnt].to=y; e[cnt].v=1; e[cnt].next=head[x]; head[x]=cnt;
    e[++cnt].to=x; e[cnt].v=-1; e[cnt].next=head[y]; head[y]=cnt;
}
inline int gcd(int n,int m)
{
    return m?gcd(m,n%m):n;
}
inline int min(int a,int b)
{
    return a<b?a:b;
}
inline int max(int a,int b)
{
    return a>b?a:b;
}
inline void DFS(int now)
{
    register int i; vis[now]=1;
    for (i=head[now];~i;i=e[i].next)
    if (vis[e[i].to]) ans=gcd(ans,dis[now]-dis[e[i].to]+e[i].v); 
    else MIN=min(MIN,dis[e[i].to]=(dis[now]+e[i].v)),MAX=max(MAX,dis[e[i].to]),DFS(e[i].to);
}
int main()
{
    //freopen("CODE.in","r",stdin); freopen("CODE.out","w",stdout);
    register int i; read(n); read(m);
    memset(head,-1,sizeof(head)); memset(e,-1,sizeof(e));
    for (i=1;i<=m;++i)
    read(x),read(y),double_add(x,y);
    for (i=1;i<=n;++i)
    if (!vis[i])
    {
        MAX=MIN=0; DFS(i);
        sum+=MAX-MIN+1;
    }
    if (ans<0) ans=-ans;
    if (ans)
    {
        if (ans<3) return puts("-1 -1"),0;
        for (lans=3;lans<ans&&ans%lans;++lans);
        return printf("%d %d",ans,lans),0;
    }
    if (sum<3) return puts("-1 -1"),0;
    return printf("%d 3",sum),0;
}