Luogu P1967 货车运输

现在开始正式填以前欠下的一些题解。就从这道经典的NOIp题开始讲吧。

我们仔细看题目，发现要求的是图上两点\((u,v)\)之间的路径上最小值的最大值。

跑DP？图上状态太多了，单次要\(O(n)\)的复杂度，直接T飞。

我们考虑一种经典方法：将图转化为一颗树来做

由于树保证联通，而这里要求最大化最小值，因此我们很容易想到把最大瓶颈生成树找出来

然后在树上维护信息？那么暴力树剖维护最大值？复杂度双\(log\)。有点危险。

再优化一波，我们用树上倍增和维护倍增LCA的方法一样维护最大值，对于所有询问的两个点直接一起跳到它们的LCA即可

注意图可能不连通，不过我们前面的并查集就可以直接用来判连通性了。

CODE

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=10005,P=15;
struct data
{
    int l,r,s;
}a[N*5];
int head[N],n,m,q,x,y,father[N],dep[N],par[N][P],f[N][P],cnt;
bool use[N];
struct edge
{
    int to,next,v;
}e[N<<1];
inline char tc(void)
{
    static char fl[100000],*A=fl,*B=fl;
    return A==B&&(B=(A=fl)+fread(fl,1,100000,stdin),A==B)?EOF:*A++;
}
inline void read(int &x)
{
    x=0; char ch; while (!isdigit(ch=tc()));
    while (x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',isdigit(ch=tc()));
}
inline void write(int x)
{
    if (x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');	
}
inline int getfather(int k)
{
    return father[k]^k?father[k]=getfather(father[k]):k;
}
inline bool cmp(data a,data b)
{
    return a.s>b.s;
}
inline void double_add(int x,int y,int z)
{
    e[++cnt].to=y; e[cnt].next=head[x]; e[cnt].v=z; head[x]=cnt;
    e[++cnt].to=x; e[cnt].next=head[y]; e[cnt].v=z; head[y]=cnt;
}
inline int min(int a,int b)
{
    return a<b?a:b;
}
inline void MST(void)
{
    for (register int i=1;i<=n;++i)
    father[i]=i;
    for (register int i=1;i<=m;++i)
    {
        int fx=getfather(a[i].l),fy=getfather(a[i].r);
        if (fx!=fy) double_add(a[i].l,a[i].r,a[i].s),father[fx]=fy;
    }
}
inline void reset(int now)
{
    for (register int i=0;i<P-1;++i)
    if (par[now][i]) par[now][i+1]=par[par[now][i]][i],f[now][i+1]=min(f[now][i],f[par[now][i]][i]); else break;
}
inline void DFS(int now,int fa,int d)
{
    dep[now]=d; par[now][0]=fa; reset(now);
    for (register int i=head[now];i!=-1;i=e[i].next)
    if (e[i].to!=fa) f[e[i].to][0]=e[i].v,DFS(e[i].to,now,d+1);
}
inline void swap(int &a,int &b)
{
    int t=a; a=b; b=t;
}
inline int get_min(int x,int y)
{
    int res=1e9; if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    for (register int i=P-1;i>=0;--i)
    if (par[x][i]&&dep[par[x][i]]>=dep[y]) res=min(res,f[x][i]),x=par[x][i];
    if (x==y) return res;
    for (register int i=P-1;i>=0;--i)
    if (par[x][i]!=par[y][i])
    {
        res=min(res,min(f[x][i],f[y][i]));
        x=par[x][i]; y=par[y][i];
    }
    return min(res,min(f[x][0],f[y][0]));
}
int main()
{
    //freopen("CODE.in","r",stdin); freopen("CODE.out","w",stdout);
    register int i; read(n); read(m);
    memset(head,-1,sizeof(head)); memset(e,-1,sizeof(e));
    for (i=1;i<=m;++i)
    read(a[i].l),read(a[i].r),read(a[i].s);	
    sort(a+1,a+m+1,cmp); MST(); read(q);
    for (i=1;i<=n;++i)
    {
        int fa=getfather(i);
        if (!use[fa]) DFS(i,0,0),use[fa]=1;
    }
    while (q--)
    {
        read(x); read(y);
        if (getfather(x)!=getfather(y)) puts("-1");
        else write(get_min(x,y)),putchar('\n');
    }
    return 0;
}