Codeforces Round 880 (Div. 2)
Preface
补题
最近被太阳晒得全身发痒，而且手臂还红的要死，不过每天有大把时间可以用来想题写题还是很爽的
这场的题目就突出一个诡异，DE都是只可意会不可言传的做法，给闪总人干麻了
A. Destroyer
设\(num_i\)表述数\(i\)出现的次数，则必须对所有的\(i\)都要满足\(num_i\ge num_{i+1}\)
#include<cstdio>
#include<iostream>
#define RI register int
#define CI const int&
using namespace std;
const int N=105;
int t,n,x,num[N];
int main()
{
//freopen("CODE.in","r",stdin); freopen("CODE.out","w",stdout);
for (scanf("%d",&t);t;--t)
{
RI i; for (i=0;i<100;++i) num[i]=0;
for (scanf("%d",&n),i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&x),++num[x];
bool flag=1; for (i=0;i<100&&flag;++i) if (num[i]<num[i+1]) flag=0;
puts(flag?"YES":"NO");
}
return 0;
}
B. Astrophysicists
很显然的贪心，我们先令\(t=\lceil\frac{g}{2}\rceil-1\)，如果\(k\times g\le t\times n\)则显然可以把所有钱都赖掉
否则给前\(n-1\)个人都发\(t\)的钱，然后剩下的都给最后一个人即可，不难证明这样一定是最优的
#include<cstdio>
#include<iostream>
#define int long long
#define RI register int
#define CI const int&
using namespace std;
int t,n,k,g;
signed main()
{
//freopen("CODE.in","r",stdin); freopen("CODE.out","w",stdout);
for (scanf("%lld",&t);t;--t)
{
scanf("%lld%lld%lld",&n,&k,&g); int r=(g+1)/2-1;
if (k*g<=r*n) { printf("%lld\n",k*g); continue; }
int ret=r*(n-1),left=k*g-(n-1)*r; left%=g;
printf("%lld\n",(n-1)*r+(left<=r?left:left-g));
}
return 0;
}
C. k-th equality
设\([L_x,R_x]\)为位数为\(x\)的数的范围，则显然根据字典序我们从小到大枚举\(a\in[L_A,L_B]\)
然后考虑合法的\(b,c\)取值有多少种，根据\(C\)的取值范围\([L_C,R_C]\)我们可以推出\(b\)的取值要在\([L_C-a,R_C-a]\)内
同时显然\(b\)也必须在\([L_B,R_B]\)内，则我们把两个区间做交集就可以得出\(b\)合法的取值方案数了，此时\(c\)也唯一确定且一定合法
复杂度\(O(10^A)\)
#include<cstdio>
#include<iostream>
#define int long long
#define RI register int
#define CI const int&
using namespace std;
const int L[7]={0,1,10,100,1000,10000,100000},R[7]={0,9,99,999,9999,99999,999999};
int t,k,A,B,C;
signed main()
{
//freopen("CODE.in","r",stdin); freopen("CODE.out","w",stdout);
for (scanf("%lld",&t);t;--t)
{
scanf("%lld%lld%lld%lld",&A,&B,&C,&k); bool flag=0;
for (RI a=L[A];a<=R[A];++a)
{
int lb=max(L[C]-a,L[B]),rb=min(R[C]-a,R[B]);
if (lb<=rb)
{
if (k<=rb-lb+1)
{
flag=1; int b=lb+k-1,c=a+b;
printf("%lld + %lld = %lld\n",a,b,c); break;
} else k-=rb-lb+1;
}
}
if (!flag) puts("-1");
}
return 0;
}
D. Lottery
好玄妙的题，想了半天没啥思路后面去看Tutorial感觉也没咋看懂，但大概可以意会一下结论
这题的结论就是所有可能的答案取值一定在\(\{a_i+j\}\)，其中\(j\in[-2,2]\)中
具体证明可以看上面的官方题解，里面配了张图很适合感性理解
然后具体实现的话我刚开始写了个枚举答案\(pos\)，则不难发现答案一定是包含\(pos\)的某个区间
那么可以二分向左和向右的量来得到最后的区间，总复杂度是\(O(5\times n\times (\log m+\log n))\)的
但写了之后发现根本跑不过去，因为\(m\)的范围很大并且二分还要跑两次，直接GG
后面一想其实可以直接双指针检验，区间的移动是跟着枚举的答案一起移动的，就可以把后面这部分做到线性了（前面排序的一个\(\log\)还是得带）
具体实现有挺多细节的，需要注意的说
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<utility>
#include<algorithm>
#define int long long
#define RI register int
#define CI const int&
using namespace std;
const int N=1000005;
int n,m,k,a[N],mx,pos; vector <int> v;
signed main()
{
//freopen("CODE.in","r",stdin); freopen("CODE.out","w",stdout);
if (scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k),k>n) return printf("%lld 0",m+1,0),0;
RI i,j; for (v.push_back(0),v.push_back(m),i=1;i<=n;++i)
for (scanf("%lld",&a[i]),j=-2;j<=2;++j) if (0<=a[i]+j&&a[i]+j<=m) v.push_back(a[i]+j);
sort(v.begin(),v.end()); v.erase(unique(v.begin(),v.end()),v.end());
sort(a+1,a+n+1); mx=0; j=1;
for (int x:v)
{
while (j<=n&&a[j]<x) ++j;
int l=0,r=m; int lst=j,kk=k;
while (j<=n&&a[j]==x) ++j,--kk;
if (kk<=0) continue;
if (lst-kk>=1)
{
l=(a[lst-kk]+x)/2; while (l-a[lst-kk]<=x-l) ++l;
}
if (j+kk-1<=n)
{
r=(a[j+kk-1]+x+1)/2; while (a[j+kk-1]-r<=r-x) --r;
}
if (r-l+1>mx) mx=r-l+1,pos=x;
}
return printf("%lld %lld",mx,pos),0;
}
E. Twin Clusters
首先我们要发现一个重要结论，所谓的区间不交其实是假的
因为假设我们找到了两个区间\([l_1,r_1],[l_2,r_2]\)满足它们的异或和相同，则分情况考虑：
- 两个区间部分相交，此时把两个区间都减去其公共部分，剩下两个区间的异或和也一定相同
- 一个区间包含另一个区间，则把大的区间减去小的区间，剩下的两个区间（如果存在的话）的异或和也一定相同
注意当出现例如\(l_1=l_2,r1<r2\)这种情况是没法处理的，不过这种情况出现的概率很低可以忽略
然后回到这题，刚开始想这题的本质其实就是在异或前缀和数组\(pfx\)中找出四个数使得它们异或和为\(0\)
然后和徐神讨论了下感觉连选三个数的情况都不太好做，四个数的情况更是难搞
那这道题该怎么处理呢，考虑这道题给出数据的方式，它的长度和数的值域是有关联的
我们发现区间的总数大概是\(\frac{n(n-1)}{2}=2^{2k+1}\)，而值域只有\(2^{2k}\)，由抽屉原理此时一定有解
并且根据生日悖论我们可以大胆猜测，我们每次随机地取一个区间并记录下异或和，如果出现和之前重复的就直接输出（注意上面讲的一种特殊情况）
这个做法的正确性是有保障的，具体可以自己写个代码跑一下当值域为\(4^k\)时，只需要不多的操作撞车的概率就很高了
最后也是700ms跑过，这题应该是有确定性做法的但还没想出来，先放着再说吧
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<random>
#include<unordered_map>
#include<utility>
#define RI register int
#define CI const int&
using namespace std;
typedef pair <int,int> pi;
const int N=(1<<18)+5;
int t,k,n; long long a[N],pfx[N]; unordered_map <long long,pi> rst;
int main()
{
//freopen("CODE.in","r",stdin); freopen("CODE.out","w",stdout);
for (scanf("%d",&t);t;--t)
{
RI i; for (scanf("%d",&k),n=1<<k+1,i=1;i<=n;++i)
scanf("%lld",&a[i]),pfx[i]=pfx[i-1]^a[i];
mt19937_64 rnd(random_device{}());
uniform_int_distribution<int> dist(1,n);
for (rst.clear();;)
{
int l=dist(rnd),r=dist(rnd);
if (l>r) swap(l,r); long long x=pfx[r]^pfx[l-1];
if (rst.count(x))
{
int L=rst[x].first,R=rst[x].second,ll=max(l,L),rr=min(r,R);
if (ll>rr)
{
printf("%d %d %d %d\n",l,r,L,R); break;
} else
if (ll==l&&rr==r)
{
if (L<=ll-1&&rr+1<=R)
{
printf("%d %d %d %d\n",L,ll-1,rr+1,R); break;
}
} else
if (ll==L&&rr==R)
{
if (l<=ll-1&&rr+1<=r)
{
printf("%d %d %d %d\n",l,ll-1,rr+1,r); break;
}
} else
{
if (ll==l) l=rr+1; else r=ll-1;
if (ll==L) L=rr+1; else R=ll-1;
if (l<=r&&L<=R)
{
printf("%d %d %d %d\n",l,r,L,R); break;
}
}
}
rst[x]=pi(l,r);
}
}
return 0;
}
Postscript
这样看来之前期末复习欠下的CF马上就可以补完了，这样就不用拖着尾巴进行集训了，舒服的捏
