浅谈PvsNP

1|0Preface

学校的计算理论初探课程要求写篇关于这个的小论文， 写完后发现也算是有所收获，遂扔到博客里水一下。

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2|0算法与时间复杂度

算法构成了计算机解决问题的基本单元，每个算法的执行都需要时间和空间。通常的，输入规模越大，往往需要的时间和空间越多。

虽然算法的实际运行效率会受到诸如硬件条件之类的影响，但是输入规模和时间的增长关系总是很定不变的。

如果输入规模用$n$表示，那么我们可以引入$O(f(x))$表示它的时间频度，以此来度量算法的运行效率。

比较常见的算法复杂度有$O(n),O(n^c),O(2^n),O(n!)$等，不同的复杂度的算法在$n$增长时所消耗的时间的增长速度是大不相同的。

而随着算法的发展，人们发现很多问题的有效算法的最优复杂度都是指数级别的，而这类复杂度的规模-时间增长太快，我们是没有信心去解决的。 因为时间增长的速度，远远超过了我们计算能力增长的速度。

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3|0P与NP的定义

由此我们引出了$P$问题的定义，所有能用多项式时间算法计算得到结果的问题，称为多项式问题。

而$NP$的定义，如果你只是如字面上看起来那样去理解，指不能用多项式时间算法计算得到结果的问题，那就大错特错了

$NP$的真正定义是指，存在多项式算法能够验证的非决定性问题。

简单来说，对于某个问题如果我给你一个解，只要能在多项式时间内判断这个解是否正确，我们就把他归类为$NP$问题

而对于某个问题，验证一个解是否合法和找出解之间的复杂度差异可能会很大。

比如我们很难在多项式时间内给出一个数独的合法解，但如果给你一个填好了数的棋盘让你验证的话问题就非常容易了。

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4|0P vs NP

回到$NP$的定义，我们不难发现$P$问题一定属于$NP$问题的范畴，因为既然我都能用多项式时间求解了，大不了就再算一遍就行了呗。

那么我们就很容易想到，那是否存在一个问题属于$NP$的范畴而不属于$P$的范畴呢？

换句话说，比如对于数独问题，它到底能不能在多项式时间内给出一个解呢？这个我们到目前为止还是不得而知。

因此对于$P\ vs\ NP$的本质的讨论其实就是在讨论$P=NP$或者$P\ne NP$。

2000年，克雷顿数学研究所，发布了7个数学难题（Millennium Prize Problems），每个奖励100万美金，其中就有$P\ vs\ NP$问题

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5|0NPC与NP-Hard

要攻克$P\ vs NP$，人们需要找到一些重点问题进行突破。

像诸如排序问题，最短路问题这类早就被提出了多项式复杂度算法的问题显然对攻克$P\ vs NP$没有什么帮助，我们要关心的是最难的那些$NP$问题。

因此就引出了$NPC$的定义，一个属于NP类的问题，但目前为止没办法在P时间内解决（也就是说目前只能在P时间内判断解的正确性）。

由科学家们证明并公认的$NPC$问题有很多，诸如$3-SAT$、最大团问题、独立集问题、点覆盖问题等。

而$NPC$问题还有一大性质就是它们可以在多项式时间内相互规约，比如$3-SAT$与最大团问题的相互规约、独立集问题与点覆盖问题的相互规约，这里的篇幅有限就不展开讨论了。

根据上面的讨论，我们发现如果$P\ne NP$，那么所有的$NPC$问题都应该被单独归为一类，与$P$划分开来，正如下图所表示的那样：

除了$NPC$外，我们还引入了一种新的定义$NP-Hard$，如果所有$NP$问题都可以多项式时间归约到某个问题，则称该问题为$NP-Hard$。

而如果一个$NP-Hard$的问题本身就$NP$的，由定义知它一定是$NPC$的。

用直观的语言表述就是：$NP-Hard$的特征是至少和$NP$问题一样难。

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6|0P vs NP的未来

时至今日，大部分科学家倾向于$P\ne NP$，我个人的看法也同样如此。

因为一旦$P=NP$，就会产生很多有意思的问题，因为此时当我们提出一个问题的验证方法后，我们就获得了这个问题的解。

换句话说，以下这些有趣的现象会发生：

• 求解数独、TSP（旅行商问题）等传统算法难题变得轻而易举。
• RSA公钥体系失效，因为做大数的质因数分解就和做乘法一样简单。
• 如果可以验证一个数学公式是否正确，则我们可以让计算机得出推导过程，因此直接导致数学家集体失业。
• 真正意义上的人工智能将会产生，因为计算机在可以判断一些问题的基础上（例如文章是否有意义、音乐是否好听），转手创造出新的作品。

不管怎么说，有关$P\ vs\ NP$已经困扰了科学家们许久，而攀登这个计算机科学的巅峰是我们这一代的终极目标，我们还有很长的路要走。

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本文作者：hl666
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